Arvutamine Maximas
Maxima abiinfot käsu kohta saab ?? käsk, näiteks ?? fullratsimp.
Lihtsustamine
Ratsionaalavaldised, tegurdamine
Kirjutis % tähendab eelmise arvutuse tulemust.
(%i1) fullratsimp((a**3+2*a**2-a-2)/(a+2));
2
(%o1) a - 1
(%i2) factor(%);
(%o2) (a - 1) (a + 1)
Trigonomeetrilised avaldised
(%i3) fullratsimp(sin(x)**2 + cos(x)**2);
2 2
(%o3) sin (x) + cos (x)
(%i4) trigsimp(%o3);
(%o4) 1
Abiks on ka trigexpand, trigreduce, trigrat.
Täpsem käitumine juurtega
(%i5) fullratsimp((%e^x-1)/(1+%e^(x/2)));
x
%e - 1
(%o5) ---------
x/2
%e + 1
(%i6) radcan((%e^x-1)/(1+%e^(x/2)));
x/2
(%o6) %e - 1
Tehted maatriksitega
Defineerimine, korrutamine arvuga, korrutamine, liitmine
(%i1) A : matrix([2,-3], [5,4], [-1,6]);
[ 2 - 3 ]
[ ]
(%o1) [ 5 4 ]
[ ]
[ - 1 6 ]
(%i2) B : 5 * matrix([3,-2], [1,0]);
[ 15 - 10 ]
(%o2) [ ]
[ 5 0 ]
(%i3) A . B;
[ 15 - 20 ]
[ ]
(%o3) [ 95 - 50 ]
[ ]
[ 15 10 ]
(%i4) A + B;
`fullmap' found arguments with incompatible structure.
-- an error. To debug this try debugmode(true);
Determinandi leidmine
(%i5) D : matrix([0,0,5,0], [0,3,0,6], [0,7,0,2], [4,0,0,0]);
[ 0 0 5 0 ]
[ ]
[ 0 3 0 6 ]
(%o5) [ ]
[ 0 7 0 2 ]
[ ]
[ 4 0 0 0 ]
(%i6) determinant(D);
(%o6) - 720
Pöördmaatriks, transponeeritud maatriks, ühik- ja nullmaatriks
(%i7) A : matrix([2,3,4], [1,1,2], [3,5,7]);
[ 2 3 4 ]
[ ]
(%o7) [ 1 1 2 ]
[ ]
[ 3 5 7 ]
(%i8) invert(A);
[ 3 1 - 2 ]
[ ]
(%o8) [ 1 - 2 0 ]
[ ]
[ - 2 1 1 ]
(%i9) transpose(A);
[ 2 1 3 ]
[ ]
(%o9) [ 3 1 5 ]
[ ]
[ 4 2 7 ]
(%i15) ident(2);
[ 1 0 ]
(%o15) [ ]
[ 0 1 ]
(%i16) zeromatrix(2,3);
[ 0 0 0 ]
(%o16) [ ]
[ 0 0 0 ]
Alammaatriksid
(%i17) submatrix(1,2, D, 2,4);
[ 0 0 ]
(%o17) [ ]
[ 4 0 ]
(%i18) row(D,3);
(%o18) [ 0 7 0 2 ]
(%i19) col(D,2);
[ 0 ]
[ ]
[ 3 ]
(%o19) [ ]
[ 7 ]
[ ]
[ 0 ]
(%i20) D[1,3];
(%o20) 5
Kompleksarvud
Algebraline kuju ja trigonomeetriline kuju
(%i1) z : 1+2*%i;
(%o1) 2 %i + 1
(%i2) polarform(z);
%i atan(2)
(%o2) sqrt(5) %e
(%i3) rectform((1+%i)/(1-%i));
(%o3) %i
Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine
(%i1) solve([2*x1 - 3*x2 + 5*x3 + 7*x4 = 1, 4*x1 - 6*x2 + 2*x3 +
3*x4 = 2, 2*x1 - 3*x2 - 11*x3 - 15*x4 = 1], [x1, x2, x3, x4]);
Dependent equations eliminated: (3)
- 24 %r2 + %r1 - 8 11 %r1
(%o1) [[x1 = - ------------------, x2 = %r2, x3 = - ------, x4 = %r1]]
16 8
Vabadeks muutujateks on x2 ja x4. Nende väärtused on suvalised konstandid, mis on tähistatud kui %r2 ja %r1.
Uute funktsioonide defineerimine
(%i1) f(x) := if x < 2 then x+3 else x-1; (%o1) f(x) := if x < 2 then x + 3 else x - 1
Tulemusena defineeritakse funktsioon {$f ( x ) = \left\{\begin{array}{ll} x + 3, & \text{kui }x < 2,\\ x - 1,& \text{muul juhul.}\end{array}\right.$}
Summade leidmine
(%i7) sum((2*i-1)^2, i, 1, 8); (%o7) 680
Tulemusena leitakse summa {$\displaystyle\sum_{i=1}^8(2i-1)^2 = 1^2+3^2+5^2+\ldots+15^2$} väärtus.
Piirväärtuse arvutamine
(%i8) limit((1+3/x)^x, x, inf);
3
(%o8) %e
Leiti, et {$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac3x\right)^x=\mathrm{e}^3$}.
Sealjuures inf tähistab {$\infty$} ja minf tähistab {$-\infty$}.
(%i9) limit(1 + x/log(x), x, 0, plus); (%o9) 1
Leiti, et {$\displaystyle\lim_{x\to0+}\left(1+\frac{x}{\ln x}\right)=1$}.
Lähenemine paremalt: plus, lähenemine vasakult: minus.
(%i10) limit(sin(1/x), x, 0) (%o10) ind
Leiti, et piirväärtust {$\displaystyle\lim_{x\to0}\sin\frac1x$} ei eksisteeri, kuid {$\displaystyle\sin\frac1x$} on punkti {$0$} ümbruses tõkestatud.
(%i11) limit(x*sin(x), x, inf); (%o11) und
Leiti, et piirväärtust {$\displaystyle\lim_{x\to\infty} x\cdot\sin x$} ei eksisteeri.
Tuletise arvutamine
(%i12) diff(3*(1-x**2)**(1/3), x);
2 x
(%o12) - -----------
2 2/3
(1 - x )
Leiti, et funktsiooni {$f(x)=\displaystyle3\cdot(1-x^2)^{\frac13}$} tuletis on {$\displaystyle-\frac{2x}{(1-x^2)^\frac23}$}.
Määramata ja määratud integraali leidmine:
(%i13) integrate(sin(x)^3, x);
3
cos (x)
(%o13) ------- - cos(x)
3
Leiti, et {$\displaystyle\int (\sin x)^3\,\mathrm{d}x = \frac{(\cos x)^3}{3}-\cos x + C$}.
(%i14) integrate(sin(x)^3, x, 0, %pi/2);
2
(%o14) -
3
Leiti, et {$\displaystyle\int_0^\frac\pi2 (\sin x)^3\,\mathrm{d}x=\frac23$}.
Tehke ise!
- Lihtsustage: {$\displaystyle\left(\frac{a^2}{a^2 - b^2} - \frac{a^2 b}{a^2 + b^2}\cdot \left( \frac{a}{a b + b^2} + \frac{b}{a^2 + a b}\right) \right) : \frac{b}{a - b}$}.
- Leidke maatriksite korrutis: {$\displaystyle\left(\begin{array}{rrrr} 1 &2 &1 &3\\ 0 &2& 1 &-2\\ 2 &1 &4 &1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ 0\\ 1 \end{array}\right)$}.
- Lahendage võrrand: {$x^4 + x^3 + 3 x^2 + 2 x + 2 = 0$}.
- Lahendage võrrandisüsteem: {$\displaystyle\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\frac{x y}{x + y} = \frac{10}{7},\\ \displaystyle\frac{y z}{y + z} = \frac{40}{13},\\ \displaystyle\frac{z x}{z + x} = \frac{5}{8}.\end{array}\right.$}
- Leidke piirväärtus: {$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{5x+2}{x+\sqrt[3]{x}}+2^x\right)$}.
- Leidke tuletis: {$f(x)=\mathrm{e}^{2x+\cos 2x}$}.
- Leidke integraalid: {$\displaystyle\int \sqrt{x^2-6x-7}\,\mathrm{d}x$}, {$\displaystyle\int_0^{\frac12}\frac{8\,\mathrm{d}x}{1+4x^2}$}.
- Arvutage determinant: {$\displaystyle\left|\begin{array}{rrrr} \sqrt{2}& \sqrt3 &\sqrt5 &\sqrt3\\ \sqrt6& \sqrt{21} &\sqrt{10} &-2\sqrt3 \\ \sqrt{10} & 2 \sqrt{15} & 5 &\sqrt6\\ 2 & 2\sqrt6 & \sqrt{10} & \sqrt{15}\end{array}\right|$}.
- Lihtsustage: {$\displaystyle\frac{\sin\alpha - 2 \sin 2\alpha + \sin 3\alpha}{ \cos \alpha - 2 \cos 2 \alpha + \cos 3\alpha}$} .
- Esitage algebralisel ja trigonomeetrilisel kujul: {$\displaystyle\left(\frac{1 - \mathrm{i}}{ 1 + \sqrt3 \mathrm{i}} \right)^{20}$} .
Tarkvara
- Maxima http://maxima.sourceforge.net.
- Adobe Reader https://get.adobe.com/reader või Foxit Reader https://www.foxitsoftware.com/products/pdf-reader või mõni muu PDF vaataja.