Uurimiseks võiks valida endale huvipärased kategooriad. Kui on käsil mingi uurimistöö, võiks olla kategooriad sellega seotud. Kui sobilikke kategooriaid pähe ei tule, võib õppejõu käest nõu küsida.
Siin lehel pakutud välja mõned võimalused ning viited, mis loodetavasti on abiks huvitava kategooria valimisel. Kui on mitu võimalust objektideks ning morfismideks, võib valida sobivad kombinatsioonid ning kombinatsioonide omadusi näiteks võrrelda.
Järjestatud hulkade kategooriad
Objektid: Järjestatud hulga alla mõtleme paari {$ (X, \leq) $}, kus {$ X $} on hulk ja {$ \leq $} on seos, mille puhul on rahuldatud järgmised kolm tingimust.
- [refleksiivsus] {$ (\forall x \in X) \,x \leq x $}
- [transitiivsus] {$ (\forall x,y,z \in X)\, x \leq y \, \& \, y \leq z \implies x \leq z $}
- [antisümmeetrilisus] {$ (\forall x,y \in X) \, x \leq y \, \& \, y \leq z \implies x = y $}
Kui viimane tingimus [antisümmeetrilisus] ei ole rahuldatud, kutsutakse paari {$ (X, \leq) $} eeljärjestatud hulgaks.
Morfismid: (Eel)järjestatud hulkadest moodustub kategooria, kui morfismideks võtta järjestust säilitavad kujutused. Täpsemalt, morfism paarist {$ (X, \leq_X) $} paari {$ (Y, \leq_Y) $} on kujutus {$f \colon X \to Y $}, mis rahuldab tingimust {$$ (\forall x,y \in X) \, x \leq_X y \implies f(x) \leq f(y) \,. $$} Tavaliselt kirjutame {$ \leq_X $} ja {$ \leq_Y $} asemel lihtsalt {$ \leq $}.
Kui järjestatud hulga jaoks defineerida seos {$$ x < y \overset{\mathrm{def}}{\iff} x \neq y\, \& \, x \leq y\,, $$} võib võtta morfismideks ka kujutused {$ f $}, mis seda seost {$ < $} säilitavad. See tähendab {$$ (\forall x,y \in X)\, x < y \implies f(x) < f(y) \,. $$} Sellel juhul räägime järjestust rangelt säilitavatest kujutustest.
Normeeritud ruumide kategooriad
Objektid: Normeeritud ruumid või Banachi ruumid, üle {$ \mathbb{R} $} või {$ \mathbb{C} $}.
Morfismid: Morfismideks võib valida näiteks tõkestatud lineaarsed kujutused või lineaarsed kujutused, mille norm on {$ \leq 1 $}.
Automaadid
Automaate on mitmet tüüpi ning üldjuhul saab neist mõistlikul viisil kategooria moodustada.
Näiteks, võib vaadata kategooria objektidena viisikuid {$ ( \Sigma, Q, \delta, q_0, F ) $}, ning morfismidena {$$ (\Sigma, Q, \delta, q_0, F ) \to (\Sigma', Q', \delta', q'_0, F' ) $$} funktsioonipaare {$(f^\Sigma, f^Q) $}, kus {$$ f^\Sigma \colon \Sigma \to \Sigma' \,, \;\;\;\; f^Q \colon Q \to Q' $$} rahuldavad tingimusi
- {$ f^Q(q_0) = q'_0 $}
- {$ f^Q(F) \subseteq F' $}
- {$ f^Q(\delta(q,\sigma)) = \delta'(f^Q(q),f^\Sigma(\sigma))$}
Võib vaadata ka {$ \Sigma $}-automaatide kategooriat, kus {$ \Sigma $} on fikseeritud ning morfism automaatide vahel on lihtsalt kujutus {$ f^Q \colon Q \to Q'$} (tähendab komponent {$ f^\Sigma $} on ühikkujutus).
Lisaks võib ka nõuda hulkade {$ Q $} ja {$ \Sigma $} lõplikkust.
Automaatide ja keelte kohta võib lugeda lähemalt näiteks siit: https://www.macs.hw.ac.uk/~markl/teaching/AUTOMATA/kleene.pdf