Tööleht on valminud Hariduse Infotehnoloogia Sihtasutuse IT Akadeemia programmi toel

Teema 1: Antiteetiliste muutujate kasutamine

Antiteetilisteks nimetame juhuslikke suurused \(X_1\) ja \(X_2\), mis on sama jaotusega ja negatiivselt korreleeritud. Võimalused saada antiteetlisi juhuslikke suurused:

Kui on soovi leida MC meetodiga \(EY\), kus \(Y=g(X)\), siis antiteetiliste muutujate meetod seisneb MC meetodi rakendamises antiteetiliste muutujate \(X\) ja \(X_2\) abil defineeritud juhusliku suuruse \(\tilde{Y}=\frac{g(X)+g(X_2)}{2}\) kesväärtuse leidmiseks. Meetod annab ajalist võitu siis, kui \(g(X)\) ja \(g(X_2)\) on samuti antiteetilised juhuslikud suurused.

Harjutus 1

Kasuta ühtlast jaotust ja antiteetilisi juhuslikke suuruseid selleks, et arvutada integraal \[\int_1^3 e^{x^2-4x}\cos(x)\,dx\] veaga, mis on väiksem kui 0.0001 tõenäosusega 0.9. Leia, kui suur oli võit võrreldes tavalise MC meetodiga. Võidu leidmiseks jaga tavalise MC korral kasutatud \(Y\) genereeritud väärtuste arv kahekordse suuruse \(\tilde{Y}\) genereeritud väärtuste arvuga.

Harjutus 2

Kasuta antiteetiliste juhuslike suuruste ideed selleks et leida ligikaudselt keskväärtus \(E e^{\sqrt{X}}\) täpsusega \(0.001\) (juhul \(\alpha=0.05\)), kus \(X\) on eksponentjaotusega \(Exp(2)\) juhuslik suurus. Kui suur on võit võrreldes tavalise MC meetodiga?

Antiteetiliste muutujate ideed saab kasutada ka mitmest juhuslikust suurusest sõltuva keskväärtuse leidmisel, kuid siis peab otsustama, kuidas on kõige suurem lootus saada keskväärtuse all oleva funktsiooni vastandlikke väärtuseid. Näiteks \(E(\sqrt{X^2+Y})\) leidmisel juhul \(X\sim N(0,1),\ Y\sim U(0,1)\) ei ole mingit mõtet asendada suurust \(X\) antiteetilise suurusega \(-X\), sest see ei ei anna tulemuseks vastandlikult käituvaid väärtuseid. Küll aga võib loota mingit võitu, kui lisaks paarile \((X,Y)\) kasutada paari \((X,1-Y)\), sest suurem \(Y\) väärtus vastab suuremale keskväärtuse all olevale funktsioni väärtusele ja seega saame vastandlikult käituvad tulemused. Mõnikord on kasulik asendada mitme juhusliku suurure väärtused antiteetilistega ning võimalikke üldistusi mitmemõõtmelisele juhule on veelgi (aga neid me siin kursusel ei vaatle)

Harjutus 3

Kasuta sobivat antiteetilistel juhuslikel suurustel põhinevat ideed, et leida keskväärtus \[E|X+Y-1|,\ X\sim U(0,\,2),Y\sim U(0,\,3)\] nii, et 10000 genereeritud arvupaari korral oleks vastus võimalikult täpne (lugedes antiteetilise arvupaari tekitamist eraldi genereerimiseks). Leida vastuse 95% usaldusintervall.

Teema 2: Kontrollmuutuja meetod

Sageli on võimalik koos huvipakkuva suurusega \(Y\) genereerida lihtsam juhuslik suurus \(Z\), mille keskväärtus \(EZ\) on teada või mille keskväärtust on lihtne arvutada. Tähtis on see, et \(EZ\) väärtus on täpselt leitav, sest muidu ei ole järgnevalt defineeritava juhusliku suuruse keskväärtus enam sama, mis \(Y\) keskväärtus! Moodustame uue juhusliku suuruse \[\tilde{Y}=Y-a(Z-EZ),\] kus \(a=\frac{\mathrm{cov}(Y,Z)}{DZ}\) (enamasti hindame esialgse valimi põhjal). Genereerimiste arv etteantud täpsuse saavutamiseks on sel juhul \(D\tilde{Y}=DY\cdot(1-\rho^2)\), kus \(\rho=\mathrm{cor}(Y,Z)\)

Harjutus 4

Vaatleme suuruse \(Y=e^{X+0.2\cos X},\) kus \(X\sim N(1,1)\), keskväärtuse leidmist MC meetodil. Kasutage kontrollmuutuja meetodit (enda valitud kontrollmuutujaga) \(EY\) leidmiseks tõenäolise veaga \(0.001\)

Kontrolliks: tulemus kontrollmuutuja korral

Kasutatud on kontrollmuutujat \(Z=e^X\).

## [1]      4.2929389769      0.0007721254
## [3] 166604.0000000000

Harjutus 5

Kasuta sobivalt valitud kontrollmuutujat, et arvutada integraal \[\int_0^1\int_0^1(x^2+2\sqrt{y})\cos(0.1xy+0.2\sqrt{x})\,dx\,dy\] tõenäolise veaga 0.0001

Kontrolliks: vastus, viga, genereerimiste arv

Kontrollmuutujaks on kasutatud \(Z=X^2+2\sqrt{Y}\)

## [1]     1.63854347273     0.00009634271
## [3] 11638.00000000000