Tööleht on valminud Hariduse Infotehnoloogia Sihtasutuse IT Akadeemia programmi toel

Teema 1: Olulise valimi meetod

Eesmärk: arvutada \(E g(X)\) juhul, kus \(g\) olulised (nt absoluutväärtuselt suured) väärtused esinevad sellises piirkonnas, kuhu \(X\) väärtused satuvad harva

Kasutame teadmist, et kui \(X\) ja \(Y\) on pidevad juhuslikud suurused ning \(f_Z(x)>0\), kui \(g(x)f_X(x)\not= 0\), siis \[E\,g(X)=E[g(Z)\frac{f_X(Z)}{f_Z(Z)}].\]

Meetod: valida \(Z\) nii, et \(Z\) satub suurema tõenäosusega piirkondadesse, kus \(g\) omandab olulisi väärtuseid. NB! Kui \(g(X)\) ei ole väljaspool olulist piirkonda null, siis peab tagama, et seal suhe \(\frac{f_X(Z)}{f_Z(Z)}\) liiga suureks ei lähe (st funktsioon \(g(x)\frac{f_X(x)}{f_Z(x)})\) võiks olla tõkestatud kogu reaalteljel.

Märkus Veelgi paremini saame \(Z\) jaotust valida, kui vaatame vaatame \(g(x)\cdot f_X(x)\) käitumist.

Harjutus 1

Leia olulise valimi meetodit kasutades \(X\sim Exp(1)\) korral keskväärtus \[E[e^{-X^2+14\sqrt{X}-9}]\] tõenäolise veaga 0.01.

Harjutus 2 Leida olulise valimi meetodiga keskväärtus

\[E(\frac{1000}{1+(X-6)^4+(Y-5)^4}),\] kus \(X,Y\sim N(0,2)\) on sõltumatud juhuslikud suurused, veaga, mis tõenäosusega 0.99 ei ületa arvu 0.005. Vihje: normaaljaotuste keskväärtusi võiks nihutada umbes poolele maale (0,0) ja (6,5) vahele.

Teema 2: Kihtvalimi meetod

Olgu \(B_1,\ldots,B_m\) mingi sündmuste täissüsteem (vastastikku välistavad, positiivse tõenäosusega, üks alati toimub igal katsel). Tähistame \(p_i=P(B_i)\), \(Y_{ij}\) olgu sõltumatud juhuslikud suurused tingliku jaotusega \(Y|B_i\) ning dispersiooniga \(\sigma_i^2\). Kihtvalimi meetod keskväärtuse \(EY\) arvutamiseks: Leiame \[EY\approx \tilde{H}_n=\sum_{i=1}^m p_i\frac{\sum_{j=1}^{n_i}Y_{ij}}{n_i},\] kus \(n_i,\ i=1,\ldots,m\) on kihtides genereeritavate juhuslike suuruste arvud ja \(n=\sum_{i=1}^m n_i\). Nii arvutatud hinnangu dispersioon on \[D\tilde{H}_n=\sum_{i=1}^m \frac{p_i^2\sigma_i^2}{n_i}\] ja (ligikaudu) tõenäosusega \(1-\alpha\) kehtiv veahinnang on \[-z_{\frac{\alpha}{2}} \sqrt{D\tilde{H}_n},\] kus \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) on standardse normaaljaotuse \(\frac{\alpha}{2}\)-kvantiil.

Head valikud \(n_i\) jaoks:

  1. Proportsionaalne: \(n_i=p_i\,n\)
  2. optimaalne: \(n_i=k\,p_i\,\sigma_i\). See nõuab iga kihi jaoks standardhälbe hindamist.

Võimalus sündmuste \(B_i\) valikuks ja \(Y\mid B_i\) genereerimiseks: kui \(Y=g(X)\), siis võime defineerida \(B_i=\{a_{i-1}<X\leq a_i\}\), kus \(-\infty=a_0<a_1<\cdots<a_m=\infty\), tinglikus jaotusest saab siis genereerida näiteks pöördfunktsiooni meetodil: \(F_X^{-1}(U)\), kus \(U\sim U(F_X(a_{i-1}),F_X(a_i))\)

Harjutus 3

Vaatleme juhusliku suuruse \(Y=e^{\sqrt{x}}\) arvutamist juhul \(X\sim Exp(1.1)\) Leia \(n=100000\) korral saadavaid tõenäolise vea hinnanguid tavalise MC, proportsionaalse kihtvalimi (kvantiilide abil defineeritud võrdse tõenäosusega sündmused \(m=100\) korral) ja optimaalse kihtvalimi korral

Kontrolliks: tulemus tavalise MC korral 
## [1] 2.600402473 0.002979996
Kontrolliks: tulemus proportsionaalse kihtvalimi korral 
## [1] 2.5897721141 0.0004328907
Kontrolliks: tulemus optimaalse kihtvalimi korral 
## [1] 2.59079469241 0.00008748427

Harjutus 4 Kasuta juhusliku suuruse \(X\) abil defineeritud kihte selleks, et arvutada

\[E[\frac{10 X^2}{X^4+0.1 Y+1}],\] kus \(X\sim N(0,1)\) ja \(Y\sim Exp(4)\) tõenäolise veaga 0.00001.

Kontrolliks: vastus 
## [1] 2.646634755206 0.000009997097