Õppeaine: Diferentsiaalgeomeetria
Aasta: Kevad 24/25

Kordamisküsimused

1. Parametriseeritud joone mõiste. Kiirus- ja kiirendusvektor. 
Ümberparametriseerimine. Kaare pikkus. Loomulik parameeter.  
Teoreem ühikkiirusega parametriseerimisest.

2. Tasandilise joonte võrrandid. Tasandi kompleksne struktuur. 
Tasandilise joone kõveruse definitsioon. Tuletada vale 
tasandilise joone kõveruse arvutamiseks.

3. Kooldumisringjoon ja selle võrrand.

4. Parametriseeritud joon 3-mõõtmelises ruumis ja selle 
kõveruse definitsioon. Tuletada Bartels-Frenet-Serret valemid.
Parametriseeritud joone väände mõiste.

5. Üldistatud Bartels-Frenet-Serret valemid. Tuletada valemid 
ruumilise joone kõveruse ja väände arvutamiseks. 

6. Funktsiooni suunatuletis. Omadused ja valem ruumi koordinaatides.
Vektorväli, kui suunatuletis, omadused ja selle valem afinseetes 
koordinaatides. Algebra derivatsiooni mõiste. Teisenemise valem 
üleminekul ühelt koordinaadisüsteemilt teisele.  

7. Kaasruumi mõiste. Duaalne baas. 1-vorm, 2-vorm ja l-vormi mõiste.
Kaldsümmeetrilised vormid. Väliskorrutise definitsioon ja omadused.
Vektorruumi välisalgebra ja selle elementide kuju fikseeritud baasi korral.

8. Diferentsiaalvormi definitsioon. Nende lkiitmine ja korrutamine 
funktsioonidega. Omadused. Differentsiaalvormide väliskorrutamine. 
Selle omadused. Diferentsiaalvormide algebra. Diferentsiaalvormi kuju 
ruumi koordinaatides. 

9. Välisdiferentsiaali mõiste. 2-diferentsiaalvormi välisdiferentsiaal.
Välisdiferentsiaali üldine definitsioon. Välisdiferentsiaali omadused 
(Teoreem). 

10. Kovariantse tuletise mõiste. Selle valem koordinaatides. 
Kovariantse tuletise omadused. Kovariantne tuletis kõverjoonelistes
koordinaatides. Seostuse maatriks ja Christoffeli sümbolid. Kovariantse 
tuletise valem kõverjoonelistes koordinaatides.

11. Kovariantse diferentsiaali definitsioon. Tuletada Cartani 
struktuurivõrrandid.

12. Parametriseeritud pinna mõiste. Puutujavektorid ja puutujatasand.
Pinna normaalvektor. Pöördpinna parametriseerimine. Pöördpinna normaalvektor.
Pinna definitsioon. Tasemepinna mõiste. Tasemepinna normaalvektor (Lause).
Teoreem tasemepinnast.

13. Pinna esimene põhivorm.

14. Pinna põhioperaator (shape operator). Põhioperaatori omadused 
(sümmeetrilisus, tõestusega).

15. Pinna peakõverused ja peasihid. Pinna normaalkõverus. Tõestada teoreem
pinna peakõverustest (omaväärtused) ja peasihtidest (omavektorid).

16. Pinna teine põhivorm. Tuletada Weingarteni võrrandid. Pinna Gaussi ja 
keskmine kõverus.

17. Tuletada pinna derivatsioonivalemid.

18. Pindade isomeetria mõiste. Tõestada Theorema Egregium. 

19. Vektori paralleellüke piki joont pinnal. Tuletada vastav valem.

20. Pinna triangulatsioon. Euleri karakteristik. Tõestada Gauss-Bonnet teoreem.