\documentclass[12pt]{report}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[a4paper]{geometry}
%\usepackage{mathpazo}
\usepackage{multicol}
\everymath{\displaystyle}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\newcommand{\s}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\n}[1]{\left\|#1\right\|}
\newcommand{\h}[1]{\left\{#1\right\}}
\renewcommand{\a}[1]{\left|#1\right|}
\newcommand{\nn}[1]{\left|\!\left|\!\left|#1\right|\!\right|\!\right|}
\begin{document}
\chapter{Ülesanded}
\section{Ruumid, funktsionaalid, operaatorid}
\begin{enumerate}
\item Olgu $X$ kompleksarvuliste kordajatega polünoomide vektorruum.
Olgu $U$ hulk kõigist polünoomidest ruumis $X$, mille kõik kordajad ei ületa
absoluutväärtuse poolest arvu $1$. Olgu $M$ mingi mittetühi tõkestatud komplekstasandi hulk
ning $V$ polünoomide $q$ hulk
ruumist $X$, mille korral kehtib võrratus $\sup_{z\in M}|q(z)|\leq1$.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et hulk $U$ on neelav, tasakaalus ning kumer, ning arvutage tema
Minkowski funktsionaal. Kontrollige, et ruum $X$ on normeeruv selle suhtes.
\item Näidake, et mistahes hulk $V$ on neelav, tasakaalus ja kumer, ning arvutage
tema Minkowski funktsionaal. Millal on see funktsionaal norm?
\end{enumerate}
\item Avaldage vektorruumi $X=\R^2$ järgmiste alamhulkade Minkowski funktsionaalid:
\begin{enumerate}
\item $M=\{(x,y)\,:\,2x-1\leq y<2x+1\}$
\item $M=\{(x,y)\,:\,(x-1)^2+y^2\leq 2\}$
\item $M=\left\{(x,y)\,:\,\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}\leq1\right\}$
\item $M=\left\{(x,y)\,:\,\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}<1\right\}$
\end{enumerate}
\item Olgu $X=\R^2$ ning $f$ suvaline lineaarne funktsionaal alamruumil $Y=\R\times\{0\}$,
mis rahuldab võrratust $|f(x,0)|\leq p(x,0)$, kus $p$ on üks alljärgnevatest poolnormidest
ruumil $X$:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $p(x,y)=|x-y|$
\item $p(x,y)=\max\{|x|, |y|\}$
\item $p(x,y)=|x|+|y|$
\item $p(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
Jätkake funktsionaal $f$ kogu ruumile $X$ selliselt, et kehtiks võrratus
$|f(x,y)|\leq p(x,y)$. Selline jätk eksisteerib Hahn-Banachi teoreemi põhjal. Kui palju
on selliseid jätkusid?
\item Olgu $X=\R^2$ ning funktsioon $p:X\to\R$ defineeritud kirjutisega $p(x,y)=|x|$.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et $p$ on poolnorm ruumil $X$.
\item Kirjeldage poolnormi $p$ poolt indutseeritud ümbruste baasi, mis viib sisse lokaalselt
kumera topoloogia $\tau$. Kas $\tau$ langeb kokku ruumi $\R^2$ loomuliku topoloogiaga?
\item Tõestage, et lineaarne funktsionaal $f:X\to\R$, mis on defineeritud kirjutisega
$f(x,y)=y$, ei ole pidev topoloogias $\tau$.
\end{enumerate}
\item Kõigi komplekssete polünoomide vektorruumis $X$ on defineeritud vastavused
$p_n:X\to\R$ ($n=0,1,2,\dots$) kirjutisega $p_n(q)=|c_n(q)|$ ($q\in X$), kus
$c_n(q)$ on polünoomi $q$ $n$-nes kordaja (kui polünoomi $q$ aste on väiksem kui $n$, siis
kordaja võrdub nulliga). Näidake:
\begin{enumerate}
\item $p_n$ on sellised poolnormid, et lokaalselt kumer topoloogia, mis on tekitatud
poolnormide süsteemi $\{p_n\,:\,n\in\N\cup\{0\}\}$ poolt, on eralduv.
\item Ruum $X$ koos oma topoloogiaga on I kategooria ruum, see tähendab, ruum $X$ on
loenduv ühend eikusagil tihedatest\footnote{Hulk $A$ on eikusagil tihe, kui tema sulundi sisemus on tühi, st. $\s{\overline{A}}^\circ=\emptyset$.} alamhulkadest.
\end{enumerate}
\item Olgu $X$ kõigi komplekssete jadade $x=(x_1,x_2,x_3,\dots)$ ruum tingimusega
$\sum_{k=1}^\infty |x_k|<\infty$, tähistame iga $n\in\N$ korral
$p_n(x)=\sum_{k=1}^n|x_k|$ ja $p(x)=\sup_{n\geq 1}p_n(x)$ ($x\in X$).
\begin{enumerate}
\item Näidake, et $\{p_n\,:\,n\geq1\}$ on poolnormide süsteem ruumil $X$ ja ta eraldab punktid.
\item Veenduge, et $p$ on norm ruumil $X$ ja topoloogia, mis on määratud normi $p$ poolt,
on rangelt suurem (peenem), kui topoloogia punktis (a).
\item Näidake, et lineaarne funktsionaal $f$, mis on defineeritud kirjutisega
\[
f(x)=\sum_{k=1}^\infty x_k
\]
ruumil $X$, on pidev normi topoloogias punktist (b). Kas ta on ka pidev topoloogias
punktist (a)?
\end{enumerate}
\item Olgu $X$ kõigi tõkestatud täisvariatsiooniga\footnote{Lõigul $[a,b]$ määratud
funktsiooni $f$ täisvariatsioon on defineeritud kui $V(f)=\sup\h{\sum_{k=1}^n\a{f(x_k)-f(x_{k-1})}\,:\,n\in\N,\,a\leq x_0<x_1<\dots<x_n\leq b}$. Kui $V(f)<\infty$, siis öeldakse, et $f$ on tõkestatud täisvariatsiooniga.} komplekssete funktsioonide vektorruum
lõigul $[a,b]$ ($a<b$).
\begin{enumerate}
\item Olgu $p_0(f)=|f(a)|$ ja $p(f)=V(f)$, näidake, et
süsteem $\{p_0,p\}$ on poolnormide süsteem ruumil $X$, mis eraldab punktid, seega on
$X$ lokaalselt kumer eralduv topoloogiline vektorruum.
\item Veenduge, et antud ruum $X$ on normeeruv ja leidke kõik sellised normid ruumil $X$,
mis annavad sama topoloogia, kui need kaks poolnormi.
\item Näidake, et antud ruum $X$ on normeeruv ka supreemumnormi suhtes. Millises seoses on see norm eelmisega?
\end{enumerate}
\item Olgu $T$ suvaline mittetühi hulk ja $X=\R^T$ kõigi funktsioonide hulk hulgast $T$ reaalarvude
hulka. Kui liitmine ja skalaariga korrutamine defineerida punktiviisi, muutub $X$ vektorruumiks.
Iga $t\in T$ korral tähistame $p_t(f)=|f(t)|$ ($f\in X$).
\begin{enumerate}
\item Veenduge, et $\{p_t\,:\,t\in T\}$ on poolnormide süsteem ruumil $X$, mis eraldab punktid, 
see tähendab, et lokaalselt kumer topoloogia, mis on ruumile $X$ indutseeritud poolnormide süsteemi
poolt, on eraldav.
\item Hulk $X$ on kirja pandav ka kujul $X=\prod_{t\in T}X_t$, kus
$X_t=\R$ kõigi $t\in T$ korral. Näidake, et topoloogia punktist (a) langeb kokku korrutistopoloogiaga,
kus ruumil $\R$ vaatleme loomulikku topoloogiat.
\item Näidake, et hulk $Y_S=\{f\in X\,:\,f(S)=0\}$, kus $S\subseteq T$, on kinnine (lineaarne)
alamruum ruumis $X$ antud topoloogias.
\item Kui hulk $T$ on mitteloenduv, näidake, et lokaalselt kumer ruum $X$ koos vastavate
kumerate ümbrustega ei ole normeeruv. Lisaks näidake, et selles ei leidu loenduvat
nulliümbruste baasi, seega pole $X$ isegi mitte metriseeruv.
\end{enumerate}
\item Olgu $X$ vektorruum ja $q:X\to\R$ funktsioon tingimustega:
\begin{enumerate}
\renewcommand{\theenumii}{\roman{enumii}}
\item $q(x)\geq0$ kõigi $x\in X$ korral ja $q(x)=0\Leftrightarrow x=0$,
\item $q(x+y)\leq q(x)+q(y)$ kõigi $x$ ja $y$ korral ruumist $X$,
\item $q(\alpha x)\leq q(x)$ kõigi $x\in X$ korral, kui kehtib $|\alpha|\leq1$,
\item $\lim_{n\to\infty}q\s{\frac xn}=0$ kõigi $x\in X$ korral.
\end{enumerate}
Näidake, et kirjutisega $d(x,y)=q(x-y)$ on ruumi $X$ sisse viidud nihke suhtes invariantne meetrika
ja $X$ on meetrilises topoloogias lineaarne topoloogiline ruum. Funktsiooni $q$ nimetame edaspidi pseudonormiks.
\item Olgu $X=\R^2$ ja $q(x,y)=\frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|}$ ($x,y\in\R$).
\begin{enumerate}
\item Veenduge, et $q$ on pseudonorm ruumil $X$. Kumb topoloogia on tugevam, kas $q$- või loomulik topoloogia?
\item Kas hulk $\{(x,y)\in X\,:\,q(x,y)<r\}$, $r>0$, on kumer? Milliste $r$ väärtuste korral on ta
tõkestatud?
\item Kas topoloogiline vektorruum $X$ on lokaalselt kumer? Kas ta on normeeritud ruum?
\end{enumerate}
\item Olgu $C(\R)$ kõigi reaalteljel pidevate komplekssete funktsioonide ruum ja $f\in C(\R)$ jaoks defineerime
$p_n(f)=\max\{|f(t)|\,:\,|t|\leq n\}$ ning
\[
q(f)=\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}\frac{p_n(f)}{1+p_n(f)}.
\]
\begin{enumerate}
\item Näidake, et $p_n$ ($n\in\N$) on poolnorm ja $q$ on pseudonorm ruumil $C(\R)$ ning topoloogia, 
mille indutseerivad poolnormid, langeb kokku topoloogiaga, mille viib sisse pseudonorm. Veenduge, et see
on $\R$ kompaktsetel hulkadel ühtlase koonduvuse topoloogia.
\item Näidake, et ruum $C(\R)$ varustatuna topoloogiaga punktist (a) on lokaalselt kumer,
aga ükski baasiümbrus ei ole tõkestatud, seega pole normeeruv.
\item Olgu $f(x)=\max\{0,1-|x|\}$, $g(x)=100f(x-2)$ ja $h(x)=\frac{f(x)+g(x)}2$ kõigi 
$x\in \R$ korral. Arvutage $q(f)$, $q(g)$ ja $q(h)$ ning tulemuse põhjal veenduge, et 
kinnine kera raadiusega $\frac12$ keskpunktiga $0$ ei ole pseudonormi $q$ poolt sisseviidud meetrikas
kumer hulk.
\end{enumerate}

\item Olgu $\ell_p$ ($0<p<1$) vektorruum kõigist komplekssetest jadadest $x=(x_1,x_2,\dots)$
tingimusega $q(x)=\sum_{k=1}^\infty |x_k|^p<\infty$. Näidake:
\begin{enumerate}
\item $q$ on pseudonorm ruumil $\ell_p$. Topoloogia vektorruumis, mille viib sisse pseudonorm, on
täielik.
\item Iga tõkestatud kompleksne jada $(a_n)$ toob kirjutisega
\[
(x_n)\mapsto \sum_{n=1}^\infty a_nx_n
\]
kaasa pideva lineaarse funktsionaali ruumil $\ell_p$, seega leidub
kumer nulliümbrus.
\item Mitte ükski tõkestatud nulliümbrustest pole kumer, seega ruum
$\ell_p$ ei ole lokaalselt kumer.
\end{enumerate}

\item Iga $p$ ($1\leq p<\infty$) korral olgu $\ell^p$ kõigi komplekssete jadade $x=(x_k)$ ruum
tingimusega $\sum_{k=1}^\infty |x_k|^p<\infty$ ja $\ell^\infty$ olgu kõigi tõkestatud komplekssete
jadade ruum. Edasi, $c$ olgu kõigi koonduvate komplekssete jadade ruum, $c_o$ temas nulli koonduvate
jadade alamruum. Näidake:
\begin{enumerate}
\item Kõigi $p$ ($1\leq p<\infty$) korral on $\ell^p$ Banachi ruum normi $\n{x}_p=\s{\sum_{k=1}^\infty|x_k|^p}^\frac1p$ suhtes.
\item Ruum $\ell^\infty$ on Banachi ruum normi $\n{x}_\infty=\sup_{k\geq1}|x_k|$ suhtes, $c$ ja $c_0$ on temas
kinnised alamruumid. Sealjuures on $c_0$ ruumis $c$ hüpertasand, sest kehtib, et ruumi $c_0$ kodimensioon
ruumis $c$ on võrdne ühega.
\item Kui $1\leq p_1<p_2<\infty$, siis kehtib $\ell^{p_1}\subset \ell^{p_2}\subset c_0\subset c\subset\ell^\infty$,
kus kõik sisalduvused on ranged.
\item Ruumid $\ell^p$ ($1\leq p<\infty$), $c_0$ ja $c$ on separaablid, ruum $\ell^\infty$ ei ole.
\end{enumerate}
\item Olgu $X$ lokaalselt kompaktne eralduv topoloogiline ruum ja tähistagu $B(X)$ ruumi kõigist tõkestatud
komplekssetest funktsioonidest ruumil $X$, tähistagu $BC(X)$ kõigi tõkestatud pidevate funktsioonide ruumi
ruumil $X$, tähistagu $C_0(X)$ ruumi kõigist pidevastest funktsioonidest ruumil $X$, mis lõpmatuses on võrdsed nulliga ning $C_c(X)$ tähistagu kompaktse kandjaga pidevate funktsioonide ruumi. Näidake:
\begin{enumerate}
\item $B(X)$ on Banachi ruum normi $\n{f}=\sup_{x\in X}|f(x)|$ suhtes,
\item $BC(X)$ on ruumis $B(X)$ kinnine alamruum,
\item $C_0(X)$ on ruumis $BC(X)$ kinnine alamruum,
\item $C_c(X)$ on kõikjal tihe alamruum ruumis $C_0(X)$.
\end{enumerate}
Millised on ruumid $BC(X)$, $C_0(X)$ ja $C_c(X)$, kui $X$ on kompaktne Hausdorffi ruum?

\item Kui $X$ on kõigi lõigul $[0,1]$ pidevate komplekssete funktsioonide ruum, näidake, et kirjutistega
\[
\n{f}=\max_{0\leq t\leq1}|f(t)|,\qquad\qquad
\n{f}_1=\int_0^1|f(t)|\,dt
\]
on ruumil $X$ defineeritud kaks normi ning kirjeldage(?) vastavaid topoloogiaid.
Veenduge, et normi $\n{\cdot}_1$ suhtes ruum $X$ ei ole täielik. Milline on selle ruumi täield?

\item Tähistagu $C^1([0,1])$ lõigul $[0,1]$ pidevalt diferentseeruvate komplekssete funktsioonide ruumi.
\begin{enumerate}
\item Defineerime normi sellel ruumil kirjutisega
\[
\n{f}=\sup_{0\leq x\leq1}\s{|f(x)|+|f'(x)|}.
\]
Näidake, et see on norm. Kas see on ekvivalentne normiga
$\nn{f}=\s{\sup_{0\leq x\leq 1}|f(x)|+\sup_{0\leq x\leq1}|f'(x)|}$?
\item Ruumil $C^1([0,1])$ võib defineerida veel teised normid: 
$\n{f}_\infty=\sup_{0\leq x\leq 1}|f(x)|$, $\n{f}_0=\sup_{0\leq x\leq 1}|f(x)|+\int_0^1|f(t)|\,dt$,
$\n{f}'_0=\sup_{0\leq x\leq 1}|f(x)|+\int_0^1|f'(t)|\,dt$. Võrrelge neid norme omavahel.
\end{enumerate}

\item Olgu $D$ lahtine ring keskpunktiga $0$ ja raadiusega $3$ komplekstasandil, $H$ olgu hulk kõigist
ringis $D$ analüütilistest funktsioonidest. Veenduge, et $H$ on normeeritud ruum, kui defineerida norm
kirjutisega
\[
\n{f}=\sup_{z\in K}|f(z)|
\]
kus tähis $K$ on kinnine ühikring keskpunktiga koordinaatide alguspunktis. Ruumis $H$ võib
tuntud viisil sisse viia ka $D$ kompaktsetel alamhulkadel ühtlaselt koonduvuse topoloogia.
Näidake, et mõlemad topoloogiad, normi ja kompaktsetel hulkadel ühtlase koonduvuse topoloogia
\emph{razlikujeta}.

\item Olgu $\s{X,\n{\cdot}_1}$ ja $\s{Y,\n{\cdot}_2}$ normeeritud ruumid. Näidake:
\begin{enumerate}
\item Otsekorrutis $X\times Y$ on normeeritud ruum, kui tähistame $\n{\s{x,y}}=\n{x}_1+\n{y}_2$
($x\in X$, $y\in Y$). Sealjuures on $X\times Y$ Banachi ruum niipea kui $X$ ja $Y$ on mõlemad Banachi ruumid.
\item Kõigi $f\in X^*$ ja $g\in Y^*$ korral on kirjutisega $(f,g)(x,y)=f(x)+g(y)$ määratud tõkestatud
lineaarne funktsionaal ruumil $X\times Y$ ning mistahes $h\in (X\times Y)^*$ on kujul
$h=(f,g)$, kus $f\in X^*$ ja $g\in Y^*$. Määrake funktsionaali $h$ norm.
\end{enumerate}

\item Varustame ruumi $C([0,1])$ pidevatest reaalfunktsioonidest ruutnormiga
\[
\n{f}_2=\s{\int_0^1f(t)^2\,dt}^\frac12.
\]
\begin{enumerate}
\item Näidake, et funktsionaal $F(f)=\int_0^1 g(t)f(t)\,dt$, kus $g$ on ka
pidev funktsioon lõigul $[0,1]$, on pidev lineaarne funktsionaal ülal defineeritud normi suhtes.
Leidke tema norm.
\item Näidake, et kui valida punktis (a) mittepidev funktsioon $g(x)=x^{-\frac12}$, siis
funktsionaal $F$ ei ole pidev.
\item Näidake, et funktsioonide $f\in C([0,1])$ hulk tingimusega $\int_0^1 f(t)\,dt=0$
on kinnine hüpertasand ruumis $C([0,1])$, varustatuna ruutnormiga.
\end{enumerate}
\item Olgu $X$ Banachi ruum lõigul $[-1,1]$ pidevatest komplekssetest funktsioonidest supreemumnormi suhtes
ning $F$ olgu lineaarne funktsionaal ruumil $X$, mis on defineeritud kirjutisega
\[
F(f)=\int_0^1\s{f(t)-f(-t)}\,dt.
\]
\begin{enumerate}
\item Näidake, et $F$ on pidev lineaarne funktsionaal ruumil $X$ ja arvutage tema norm.
\item Kui $B=\{f\in X\,:\,\n{f}\leq1\}$ ja $M=\{f\in X\,:\,F(f)=\n{F}\}$, näidake, et
$B\cap M=\emptyset$.
\item Näidake, et hulk $M$ punktist (b) on mittetühi kinnine kumer hulk ruumis $X$, mis
ei ole kompaktne (arvutage hulga $M$ kaugus $d$ koordinaatide alguspunktist ja veenduge, et
ei ole mitte ühtki punkti $f_0\in M$, mille korral kehtiks $\n{f_0}=d$).
\end{enumerate}

\item Mistahes komplekssete jadade $a=(a_k)$ ja $x=(x_k)$ korral tähistame formaalse summa
$f_a(x)=\sum_{k=1}^\infty a_k x_k$. Näidake:
\begin{enumerate}
\item Kui $a\in\ell^1$, on $f_a$ tõkestatud lineaarne funktsionaal ruumil $c_0$ ja
iga tõkestatud lineaarse funktsionaali $f$ ruumil $c_0$ korral leidub $a\in\ell^1$, et
$f=f_a$. Vastavus $a\mapsto f_a$ on isomeetriline isomorfism ruumist $\ell^1$ ruumile $c_0^*$.
\item Kui $a\in\ell^\infty$, on $f_a$ tõkestatud lineaarne funktsionaal ruumil $\ell^1$ ja iga lineaarse
funktsionaali $f$ ruumil $\ell^1$ korral leidub $a\in\ell^\infty$, et $f=f_a$. Vastavus $a\mapsto f_a$
on isomeetriline isomorfism ruumist $\ell^\infty$ ruumile $\s{\ell^1}^*$.
\item Kui $a\in\ell^q$ ($1<q<\infty$), on $f_a$ tõkestatud lineaarne funktsionaal ruumil $\ell^p$
($\frac1p+\frac1q=1$) ja iga lineaarse
funktsionaali $f$ ruumil $\ell^p$ korral leidub $a\in\ell^q$, et $f=f_a$. Vastavus $a\mapsto f_a$
on isomeetriline isomorfism ruumist $\ell^q$ ruumile $\s{\ell^p}^*$.
\item Kui $a\in\ell^1$, on $f_a$ tõkestatud lineaarne funktsionaal ruumil $\ell^\infty$.
Vastavus $a\mapsto f_a$
on lineaarne isomeetria ruumist $\ell^1$ ruumile $\s{\ell^\infty}^\infty$, kuid ei ole sürjektiivne
(miks mitte?)
\item Kui $a\in \ell^1$, on kirjutisega $g_a(x)=a_1\lim x+\sum_{k=2}^\infty a_k x_{k-1}$ ($x=(x_k)\in c$)
sisse viidud tõkestatud linearne funktsionaal ruumile $c$ ning iga tõkestatud lineaarse funktsionaali
$g$ ruumil $c$ korral leidub $a\in \ell^1$ nii, et $g=g_a$. Vastavus $a\mapsto g_a$
on isomeetriline isomorfism ruumist $\ell^1$ ruumile $c^*$.
\end{enumerate}
Millised ruumidest $c_0$, $c$, $\ell^p$ ($1\leq p\leq \infty$) on refleksiivsed ja millised mitte?
\item Vaatleme ruumi $C([0,1])$, varustatuna supreemumnormiga.
\begin{enumerate}
\item Olgu $F$ tõkestatud lineaarne funktsionaal ruumil $C([0,1])$. Olgu $F_0$ suvaline 
funktsionaali $F$ Hahn-Banachi jätk ruumile $B([0,1])$ (see on, jätk tingimusega $\n{F_0}=\n{F}$) ja olgu
$\alpha:[0,1]\to\C$ funktsioon, mis on defineeritud kirjutisega $\alpha(0)=0$ ja 
$\alpha(t)=F_0\s{\chi_{[0,1]}}$, kus $0<t\leq1$, näidake, et $\alpha$ on tõkestatud
täisvariatsiooniga funktsioon lõigul $[0,1]$, mille jaoks kehtib $V(\alpha)=\n{F}$ ja
\[
F(f)=\int_0^1 f(t)\,d\alpha(t)
\]
iga kõikjal pideva funktsiooni $f\in C([0,1])$ korral.
\item Näidake, et ka vastupidi: iga kompleksse funktsiooni $\alpha$ korral, mis
on tõkestatud täisvariatsiooniga $V(\alpha)$ lõigul $[0,1]$, on kirjutisega
\[
F_\alpha(f)=\int_0^1 f(t)\,d\alpha(t)
\]
defineeritud tõkestatud lineaarne funktsionaal $F_\alpha$ ruumil $C([0,1])$, mille jaoks
kehtib $\n{F_\alpha}\leq V(\alpha)$. Vastavus $\alpha\mapsto F_\alpha$ on lineaarne, aga mitte injektiivne;
seega ka üldiselt ei kehti $\n{F_\alpha}=V(\alpha)$ (tooge kontranäide).
\end{enumerate}
\item \emph{Vemo}, et antud iga elemendi $y$ korral ruumist $c$ on ühesel viisil esitatav
kujul $y=x+y_0e$, kus $x\in c_0$, $y_0=\lim y$ ja $e=(1,1,1,\dots)$. Olgu $f$
lineaarne funktsionaal ruumil $c_0$, mis iga elemendi $x=(x_k)\in c_0$ korral tagastab
esimese komponendi, see on, $f(x)=x_1$.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et funktsionaal $f$ on tõkestatud ja arvutage tema norm.
\item Veenduge, et funktsionaali $f$ mistahes jätk $F$ ruumile $c$ on kujul $F(y)=f(x)+y_0a$,
kus $a$ on suvaline konstant, ning tema normi kohta kehtib $\n{F}=1+|a-1|$.
\item Näidake, et funktsionaali $f$ Hahn-Banachi jätk (see on, selline jätk, mis säilitab
normi) on üheselt määratud. Leidke see jätk.
\end{enumerate}
Olgu nüüd $f$ suvaline tõkestatud lineaarne funktsionaal ruumil $c_0$. Näidake, et
funktsionaali $f$ iga jätk $F$ ruumile $c$ on samal kujul nagu enne. Leidke $\n{F}$.
Kui palju on nüüd Hahn-Banachi jätkusid?
\item Nagu tavaliselt, tähistame $\ell^\infty$ Banachi ruumi kõigist tõkestatud komplekssetest
jadadest, mis on varustatud supreemumnormiga ning $c$ tähistab kinnist alamruumi ruumis $\ell^\infty$
kõigist koonduvatest jadadest.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et kirjutisega $f(x)=\lim x$ ($x\in c$) on defineeritud tõkestatud lineaarne funktsionaal
ruumil $c$. Kui suur on tema norm?
\item Olgu $x_0=(1,0,1,0,1,0,\dots)$ ja $Y$ alamruum ruumis $\ell^\infty$, mis on genereeritud ruumi $c$
ja vektori $x_0$ poolt. Näidake, et iga elemendi $y=x+\lambda x_0\in Y$ ($x\in c$, $\lambda\in\C$) 
korral kehtib
$\n{y}\geq\max\h{\a{\lim x}, \a{\lambda+\lim x}}$ ning et iga $r\in[0,1]$ korral kirjutisega
$F_r(x+\lambda x_0)=\lim x+ r\lambda$ on määratud funktsionaali $f$ \emph{neka} Hahn-Banachi jätk 
alamruumile $Y$.
\item Näidake, et vektor $x_1=(0,1,0,1,0,1,\dots)$ kuulub alamruumi $Y$ ja arvutage $F_r(x_1)$.
Kuidas tuleb valida $r$, et kehtiks $F_r(x_1)=F_r(x_0)$?
\end{enumerate}

\item Iga $x\in\ell_\infty$ korral olgu $p(x)=\inf\n{\frac1M\sum_{i=1}^M x^{\s{m_i}}}$, kus
$x^{\s{m}}=(x_m,x_{m+1},\dots)$ ja infiimum võetakse üle kõigi naturaalarvude $M$ ja kõigi
naturaalarvude valikute $m_1,m_2,m_3,\dots,m_M$.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et $p$ on poolnorm ruumil $\ell_\infty$, kusjuures iga $y\in c$ korral kehtib
$\a{\lim y}\leq p(y)$ ja iga $x\in \ell_\infty$ korral kehtib $p(x)\leq\n{x}$.
\item Veenduge, et leidub tõkestatud lineaarne funktsionaal $f$ ruumil $\ell_\infty$, mille
jaoks kehtib $\a{f(x)}\leq p(x)$ iga $x\in \ell_\infty$ ja $f(y)=\lim y$ iga $y\in c$ korral.
\item Näidake, et funktsionaali $f$ punktist (b) jaoks kõigi $x\in \ell_\infty$ ja kõigi
$m\in\N$ korral kehtib $f(x)=f\s{x^{\s{m}}}$ ja $\n{f}=1$.
\end{enumerate}
Funktsionaali $f$ nimetatakse üldistatud Banachi piiriks.

\item Olgu $1<p<\infty$ ja $\frac1p+\frac1q=1$. Valime elementide $x^{(n)}=(0,0,\dots,0,n^\frac 1q,0,\dots)$
jada, kus $n^\frac1q$ asub $n$-ndal kohal, ruumist $\ell_p$.
\begin{enumerate}
\item
Näidake, et jada on normi järgi tõkestamata ja tema ükski alamjada ei ole nõrgalt koonduv.
\item 
Näidake, et $0$ on hulga $S=\h{x^{(n)}\,:\,n\in\N}$ piirpunkt nõrgas 
topoloogias, ent et ei leidu ühtki jada hulga $S$ elementidest, mis koonduks nõrgalt punktiks 0.
\end{enumerate}

\item Ruumis $C([0,1])$ ühtlase, st. supreemumnormi suhtes defineerime
lineaarsed funktsionaalid $F$ ja $F_n$ kirjutisega
\[
F(f)=\int_0^1 f(t)\,dt,\qquad\qquad
F_n(f)=\frac1n\sum_{k=1}^nf\s{\frac kn}.
\]
\begin{enumerate}
\item Arvutage funktsionaalide $F$ ja $F_n$ normid.
\item Näidake, et funktsionaalide $F_n$ jada ei koondu funktsiooniks $F$ (kaasruumi normi mõttes).
\item Näidake, et iga funktsiooni $f\in C([0,1])$ korral arvjada $F_n(f)$ koondub arvuks $F(f)$.
\end{enumerate}

\item Kõigi $n\in\N$ korral olgu $e^{(n)}$ jada, millel on $n$-ndal kohal $1$, mujal $0$, $Y$ olgu hulga
$\h{e^{(n)}\,:\,n\in\N}$ lineaarne kate. Ilmselt $Y\subset \ell_1$. Iga $n\in\N$ korral defineerime hulgal
$Y$ lineaarse funktsionaali $f_n$ kirjutisega $f_n(x)=n x_n$ ($x=(x_n)\in Y$).
Näidake, et kõigi $x\in Y$ korral hulk $\h{f_n(x)\,:\,n\in\N}$ on tõkestatud, jada $(f_n)$ aga kaasruumi
$Y^*$ normi järgi ei ole tõkestatud. Kas see on kooskõlas ühtlase tõkestatuse printsiibiga?

\item Olgu $(a_n)$ kompleksarvude jada. Tõestage:
\begin{enumerate}
\item Kui mistahes koonduva jada $(x_n)$ korral on rida $\sum_{n=1}^\infty a_n x_n$ koonduv, 
on rida $\sum_{n=1}^\infty a_n$ absoluutselt koonduv.
\item Kui iga jada $(x_n)\in \ell_1$ korral rida $\sum_{n=1}^\infty a_n x_n$ koondub, on jada $(a_n)$
tõkestatud.
\item Kui iga jada $(x_n)\in \ell_p$ ($1<p<\infty$) korral rida $\sum_{n=1}^\infty a_n x_n$ koondub,
siis $(a_n)\in\ell_q$ ($\frac 1p+\frac 1q=1$).
\end{enumerate}

\item Eeldame, et leidub jada $(a_n)$ koos $0$-ga erinevatest kompleksarvudest tingimusega, et 
rida $\sum_{n=1}^\infty x_n$ on absoluutselt koonduv parajasti siis, kui $(a_nx_n)$ on tõkestatud
jada. Olgu $A:\ell_\infty\to\ell_1$ operaator, mis on defineeritud kirjutisega $(Ax)_n=\frac{x_n}{a_n}$
($n\in\N$).
\begin{enumerate}
\item Näidake, et operaator on defineeritud kogu ruumil $\ell_\infty$, on lineaarne, pidev ja bijektiivne.
\item Tooge sisse $A^{-1}$ ja veenduge, et $A^{-1}$ ei ole tõkestatud operaator. Kuidas
see omadus on kooskõlas lahtise kujutuse printsiibiga?
\end{enumerate}

\item Olgu $X=C^1([a,b])$ lõigul $[a,b]$ ($a<b$)
üks kord pidevalt diferentseeruvate kompleksfunktsioonide vektorruum. Näidake:
\begin{enumerate}
\item $X$ on Banachi ruum normi 
\[
\n{f}=\sup_{a\leq x\leq b}\a{f(x)}+\sup_{a\leq x\leq b}\a{f'(x)}
\]
suhtes.
\item Kui $p\in C([a,b])$ ja $c\in [a,b]$, siis kirjutisega $Ay=\s{y'-py,y(c)}$ on antud tõkestatud lineaarne
bijektiivne operaator ruumist $X$ ruumi $C([a,b])\oplus \C$.
\item Mida annab lahtise kujutuse printsiip diferentsiaalvõrrandi $y'=py+q$ lahendite kohta
algtingimusel $y(c)=d$?
\end{enumerate}

\item Sõltumatult üksteisest tõestage järgnevad väited ruumide $\ell_1$ ja $\ell_2$ kohta.
\begin{enumerate}
\item $\ell_1$ on pärisalamruum ruumis $\ell_2$, mis ei ole kinnine ruumi $\ell_2$ normi suhtes,
kuid on selles tihe.(??)
\item Sisestus $\ell_1\to \ell_2$ on pidev, aga ei ole sürjektiivne.
\item Iga naturaalarvu $n$ korral on hulk $M_n=\h{(x_k)\,:\,\sum_{k=1}^\infty |x_k|\leq n}$
kinnine mittetühi alamhulk ruumis $\ell_2$ ja tema sisemus on tühi.
\end{enumerate}
Võrrelge ülaltoodud väidete valguses omavahel Baire'i teoreemi ja lahtise kujutuse printsiipi.

\item Ütleme, et lineaarne operaator $A$ komplekssete jadade ruumil $X$ esitub maatriksina, kui
leidub kompleksmaatriks $(a_{ik})$ nii, et 
\[
(Ax)_i=\sum_{k=1}^\infty a_{ik} x_k
\]
iga $x=(x_k)\in X$ ja iga $i\in\N$ korral, kus ülaltoodud rida koondub.
\begin{enumerate}
\item Tõestage, et lineaarne operaator ruumil $\ell_p$ ($1<p<\infty$) on tõkestatud parajasti siis,
kui ta esitub maatriksina.
\item Leidke näide lineaarsest  operaatorist ruumil $\ell_p$, mis ei ole tõkestatud.
\end{enumerate}

\item Kompleksjadade ruumil defineerime lineaarse operaatori lõpmatu kompleksmaatriksi $(a_{ik})$
abil.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et selliselt defineeritud operaator on vastavus kompleksjadadest koonduvate
kompleksjadade ruumi parajasti siis, kui kehtivad tingimused
(i) $\lim_{i\to\infty}a_{ik}=0$, (ii) $\lim_{i\to\infty}\sum_{k=1}^\infty a_{ik}=1$ ja
(iii) $\sup_i\sum_{k=1}^\infty |a_{ik}|<\infty$. Kas operaator on tõkestatud kui operaator
ruumist $c$ ruumile $c$?
\item Veenduge, et tingimused punktist (a) on rahuldatud operaatori korral, mis on antud maatriksiga
$(a_{ik})$, kus $a_{ik}=\frac 1i$, kui $1\leq k\leq i$ ja $a_{ik}=0$, kui $k>0$. Sama küsimus
$a_{ik}=r_i^k-r_i^{k+1}$ kohta ($0<r_i<1$, $\lim r_i=1$). Selline operaator kujutab ka mõne hajuva jada koonduvaks.
\end{enumerate}

\item Operaator $A$ olgu ruumil $c$ defineeritud kirjutisega $(Ax)_n=n^{-1}x_n$ ($n\in\N$). Näidake,
et $A$ on tõkestatud operaator ruumist $c$ ruumi $c_0$, mille väärtuste piirkond $R(A)=Ac$ ei ole kinnine
ruumis $c_0$.

\item Mistahes $a=(a_n)\in\ell_\infty$ ja mistahes $x=(x_n)\in\ell_1$ korral tähistame
$Ax=(a_n x_n)$. Näidake:
\begin{enumerate}
\item $A\in L(\ell_1)$.
\item $\Ker A=\h{0}$ parajasti siis, kui $a_n\ne0$ iga $n$ korral.
\item Kui $\Ker A=\h{0}$, siis väärtuste piirkond $R(A)=A\ell_1$ on tihe ruumis $\ell_1$.
\item $R(A)=\ell_1$ ja $A^{-1}$ on pidev parajasti siis, kui $\inf\h{|a_n|\,:\,n\in\N}>0$.
\end{enumerate}

\item Banachi ruumis $\ell_p$ ($1<p<\infty$) defineerime lineaarsed operaatorid $P_n$ ja 
$Q_n$ ($n\in\N$) kirjutisega
$P_n(x_1,x_2,x_3,\dots)=(0,0,\dots,0,x_n,0,\dots)$,
$Q_n(x_1,x_2,x_3,\dots)=(0,0,\dots,0,x_1,x_2,\dots)$ ($n$ nulli).
\begin{enumerate}
\item Veenduge, et iga $n$ korral on operaator $P_n$ tõkestatud. Arvutage tema norm ja ruut $P_n^2$.
Näidake, et jada $(P_n)$ koondub tugevalt, aga mitte ühtlaselt (normi järgi).
\item Veenduge, et iga $n$ korral on operaator $Q_n$ tõkestatud ja arvutage tema norm. Näidake, et
jada $(Q_n)$ koondub nõrgalt, aga mitte tugevalt.
\end{enumerate}

\item Ruumil $\ell_1$ defineerime lineaarsete operaatorite $A_n$ jada kirjutisega
\[
A_n(x_1,x_2,x_3,\dots)=\s{x_1,x_2,\dots,x_{n-1},\s{1-\frac 1n}x_n,0,0,\dots}.
\]
\begin{enumerate}
\item Näidake, et kõik operaatorid $A_n$ on tõkestatud. Millised on nende normid?
\item Kas leidub $\lim_{n\to\infty}A_n$ normi topoloogias? Kas leidub tugevas topoloogias?
\end{enumerate}

\item Olgu $X=C([0,1])$ supreemumnormi suhtes ja $g\in X$ funktsioon, mis avaldub võrdusega $g(t)=t$
iga $t\in[0,1]$ korral. Lineaarne operaator $A$ ruumis $X$ on defineeritud kirjutisega $Af=gf$.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et operaator $A$ on tõkestatud ja arvutage tema norm.
\item Näidake, et rida $\sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!} A^n$ koondub. Tähistame tema summa tähega $B$,
millega võrdub $(Bf)(t)$?
\item Näidake, et funktsioon, mis on samaselt võrdne $1$, ei kuulu operaatori $A$ väärtuste piirkonna sulundisse.
\end{enumerate}

\item Olgu $K=\h{z\in\C\,:\,|z|\leq 1}$ ja $C(K)$ kompaktsel hulgal $K$ pidevate kompleksfunktsioonide 
ruum, mis on varustatud supreemumnormiga. Defineerime lineaarse operaatori $A:C(K)\to C(K)$ kirjutisega
$(Af)(z)=f(z^2)$ ($z\in K$, $f\in C(K)$).
\begin{enumerate}
\item Näidake, et $A$ on korrektselt defineeritud tõkestatud lineaarne operaator ruumil $C(K)$, ning avaldage tema norm.
\item Kas funktsioon $h:K\to \C$, mis on defineeritud võrdusega $h(z)=z$, kuulub operaatori $A$ väärtuste
piirkonda? Kas ta kuulub vähemalt tema sulundisse?
\end{enumerate}

\item Iga funktsiooni $f\in C([0,1])$ korral tähistagu $Sf$ üheselt leitavat
määramata integraali funktsioonist $f$,
mis punktis $0$ saab väärtuse $0$, $Tf$ tähistagu üheselt leitavat määramata integraali funktsioonist $f$,
mille korral kehtib $\int_0^1(Tf)(t)\,dt=0$.
\begin{enumerate}
\item Veenduge, et nii $S$ kui $T$ on injektiivsed lineaarsed kujutused ruumil $C([0,1])$.
Kas nad on pidevad ruumi $C([0,1])$ supreemumnormi suhtes?
\item Määrake funktsioonid $K_S(x,t)$ ja $K_T(x,t)$ ruumil $[0,1]\times[0,1]$ nii, et kehtiksid
\[
(Sf)(x)=\int_0^1 K_S(x,t)f(t)\,dt,\qquad
(Tf)(x)=\int_0^1 K_T(x,t)f(t)\,dt
\]
iga $x\in [0,1]$ ja iga pideva funktsiooni $f$ korral.
\end{enumerate}

\item Olgu $X=C([0,1])$, $K(x,t)=\begin{cases} (1-x)t, & 0\leq t\leq x,\\
(1-t)x, & x\leq t\leq 1
\end{cases}$
ning $(Af)(x)=\int_0^1 K(x,t)f(t)\,dt$ ($x\in [0,1]$, $f\in X$).
\begin{enumerate}
\item Näidake, et $A$ on tõkestatud lineaarne operaator ruumist $X$ lõigul $[0,1]$
kaks korda pidevalt diferentseeruvate funktsioonide alamruumi ning arvutage tema norm.
\item Leidke operaatori $A$ kõik omaväärtused ja omafunktsioonid.
(Näpunäide: Veenduge, et $f$ on omafunktsioon, mis vastab omaväärtusele $\lambda\ne0$ parajasti
siis, kui $f$ koos arvuga $\lambda$ on lahend rajaülesandele $\lambda f''+f=0$, $f(0)=f(1)=0$.
Juhtu $\lambda=0$ uurige eraldi.)
\end{enumerate}

\item Olgu $K(x,t)$ pidev funktsioon kolmnurgas $\h{(x,t)\,:\,0\leq t\leq x,\,0\leq x\leq 1}$,
operaator $A$ ruumil $C([0,1])$ määratud kirjutisega $(Af)(x)=\int_0^x K(x,t)f(t)\,dt$
(Volterra tüüpi integraaloperaator).
\begin{enumerate}
\item Kui $M$ on funktsiooni $|K(x,t)|$ maksimaalne väärtus ülemises kolmnurgas, näidake, et kehtib hinnang
\[
\a{\s{A^n f}(x)}\leq\n{f}M^n\frac{x^n}{n!}
\]
kõigi $n\in\N$, $x\in[0,1]$ ja $f\in C([0,1])$ jaoks.
\item Punktis (a) saadud hinnangu abil näidake, et operaatori $A$ spekter võrdub $\h{0}$.
\end{enumerate}

\item Rakendage operaatorit $(Af)(x)=\frac1x\int_0^x f(t)\,dt$ ($x\in(0,1]$)
\begin{enumerate}
\item lõigul $[0,1]$ pidevate funktsioonide ruumis $C([0,1])$,
\item lõigul $[0,1]$ summeeruvate funktsioonide ruumis $L_1(0,1)$.
\end{enumerate}
Näidake, et punktis (a) on tõkestatud operaator (arvutage tema norm), aga punktis (b) 
on operaator tõkestamata. Määrake mõlemas punktis operaatori $A$ punktspekter.

\item Defineerime vastavuse $A$ reaalsirgel määratud tõkestatud pidevate kompleksfunktsioonide ruumil $BC(\R)$,
mis on varustatud supreemumnormiga, kirjutisega
\[
(Af)(t)=f(-t),\qquad t\in\R,\,f\in BC(\R).
\]
\begin{enumerate}
\item Näidake, et $A$ on tõkestatud lineaarne operaator ja arvutage $\n{A}$. Milline on $A^{-1}$?
\item Mitmete arvude $\lambda$ jaoks on lihtne leida operaatori $\lambda I-A$ pöördoperaator kujul
$\alpha I+\beta A$. Määrake ka $\sigma(A)$, operaatori $A$ omaväärtused ja omaalamruumid.
\end{enumerate}

\item Vaatleme funktsiooni $g$, mis on määratud lõigul $[0,1]$ kirjutisega $g(t)=t$, kui $0\leq t\leq\frac12$, 
ja $g(t)=\frac12$, kui $\frac12<t\leq1$, $A$ olgu funktsiooniga $f$ korrutamise operaator ruumis $C([0,1])$,
see tähendab $Af=gf$ iga pideva funktsiooni $f$ korral. Määrake ja klassifitseerige operaatori $A$ spekter.

\item Olgu $K$ mittetühi kompaktne hulk komplekstasandil, $C(K)$ hulgal $K$ pidevate kompleksfunktsioonide
hulk ja $A:C(K)\to C(K)$ operator, mis on defineeritud $(Af)(z)=zf(z)$ ($z\in K$, $f\in C(K)$). Näidake, et
$A$ on tõkestatud lineaarne operaator ruumil $C(K)$, määrake tema spekter ning kõik omaväärtused.

\item Lineaarsed operaatorid $A_n$ ($n=1,2,\dots$) on ruumil $\ell_1$ määratud kirjutisega
\[
A_n(x_1,x_2,\dots)=(x_1,x_2,\dots,x_{n-1},-x_n,x_{n+1},\dots).
\]
\begin{enumerate}
\item Määrake $\n{A_n}$.
\item Näidake, et jada $(A_n)$ ei ole operaatornormi suhtes Cauchy jada.
\item Näidake, et iga $x\in\ell_1$ korral jada $(A_n x)$ koondub. Milline on $\lim_{n\to\infty}A_n x$?
\item Määrake operaatori $A_n$ spekter.
\end{enumerate}

\item Operaator $A:\ell_1\to \ell_1$ on defineeritud kirjutisega
\[
A(x_1,x_2,x_3,\dots)=\s{0,x_1,\frac{x_2}2,\frac{x_3}3,\dots}.
\]
\begin{enumerate}
\item Iga $n\in\N$ korral määrake operaator $A^n$ ja näidake, et kehtib $\n{A^n}=\frac 1{n!}$.
\item Veenduge, et iga $\lambda\ne0$ korral rida $\sum_{n=0}^\infty\frac{A^n}{\lambda^{n+1}}$
koondub. Milline on selle summa?
\item Määrake ja klassifitseerige operaatori $A$ spekter.
\end{enumerate}

\item Ruumil $\ell_\infty$ on defineeritud lineaarne operaator $A$ kirjutisega
$(Ax)_n=\frac{x_n}{\sqrt{n}}$ ($n\in\N$, $x=(x_n)\in\ell_\infty$).
\begin{enumerate}
\item Määrake $\n{A}$.
\item Määrake operaatori $A$ punkt-, pidev ja jääkspekter.
\end{enumerate}

\item Operaatorid $A$ ja $B$ olgu ruumil $\ell_1$ antud kirjutistega
$A(x_1,x_2,\dots)=(x_2,x_3,\dots)$ ja $B(x_1,x_2,\dots)=(0,x_1,x_2,\dots)$.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et mõlemad operaatorid $A$ ja $B$ on tõkestatud ning arvutage nende norm.
\item Veenduge, et $A$ on sürjektsioon, $B$ on injektsioon ning arvutage $AB$ ja $BA$.
\item Määrake kaasoperaatorid $A^*$ ja $B^*$ kaasruumi operaatoritena.
\item Leidke ja klassifitseerige mõlema operaatori $A$ ja $B$ spekter; määrake ka aproksimatiivsed omaväärtused.
\end{enumerate}
Korrake ülesandeid (a), (b), (c) ja (d) operaatoritega $A$ ja $B$, mis on defineeritud ruumil $\ell_2$.

\item Olgu $X$ kahepoolsete kompleksjadade $x=(x_k)_{k\in\Z}$ Banachi ruum, kus jadad rahuldavad
tingimust $\n{x}=\sum_{k\in\Z}|x_k|<\infty$. Tähistame 
$e_n=(\dots,0,\dots,0,1,0,\dots)$, kus $1$ on $n$-ndal kohal ($n\in\Z$). Kõigi
$r\geq0$ jaoks defineerime operaatori $A_r$ kirjutisega $A_re_n=e_{n+1}$, kui $n\ne0$, ja $A_r e_0=re_1$.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et $A_r$ on tõkestatud lineaarne operaator, mille spekter $r>0$ korral asub ühikringjoonel,
$r=0$ korral võrdub kogu ühikringiga.
\item Näidake, et suvalise $r$ korral kõigi $\gamma\in\C$, $|\gamma|=1$ jaoks operaatorid $\gamma A_r$ ja
$A_r$ on sarnased. Sellest järeldage, et $r>0$ korral operaatori $A_r$ spekter hõlmab terve ühikringjoon,
see tähendab $\sigma(A_r)=\h{\lambda\in\C\,:\,|\lambda|=1}$.
\item Näidake, et protsessis $r\to0$ koondub operaatorite jada $(A_r)$ ühtlaselt operaatoriks $A_0$.
\end{enumerate}

\item Operaatorid $A,B:\ell_1\to\ell_1$ on antud kirjutistega $(Ax)_n=\frac{x_n}n$ ja $(Bx)_{2n-1}=\frac{x_{2n-1}}n$, 
$(Bx)_{2n}=x_{2n}$ ($n\in\N$, $x=(x_n)\in\ell_1$).
\begin{enumerate}
\item Veenduge, et operaator $A$ on kompaktne, aga operaator $B$ ei ole.
\item Määrake ja võrrelge mõlema operaatori spektreid.
\end{enumerate}

\item Teatud viisil valitud tuuma $K(x,t)$ korral on integraaloperaator $A$, mis on määratud
kirjutisega 
\[
(Af)(x)=\int_0^1 K(x,t)f(t)\,dt
\]
($x\in[0,1]$) tõkestatud lineaarne operaator ruumil $C([0,1])$.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et operaator $A$ on isegi kompaktne, kui $K(x,t)$ on pidev funktsioon ruudul
$[0,1]\times[0,1]$. 
\item Näidake, et operaator $A$ on kompaktne samuti siis, kui tuum $K(x,t)$ on tõkestatud funktsioon
hulgal $[0,1]\times[0,1]$, mille kõik katkevuspunktid asuvad pideval kõveral $t=g(x)$.
\item Veenduge, et Volterra tüüpi operaator (ülesanne 43) on kompaktne, Hardy tüüpi operaator
(ülesanne 44(a)) aga mitte.
\end{enumerate}

\item Veenduge kahel
viisil, et ruumil $C([0,1])$ integraaloperaator $K$ tuumaga $K(x,y)=-\ln|x-y|$ on kompaktne:
\begin{enumerate}
\item Arzel\'a-Ascoli lemma abil,
\item aproksimeerides pideva tuumaga 
\[
K_n(x,y)=\begin{cases} -\ln |x-y|, & |x-y|>\frac 1n,\\
\ln n, & |x-y|\leq \frac1n
\end{cases}
\]
kompaktsete integraaloperaatorite 
abil.
\end{enumerate}

\item Iga naturaalarvu $n$, iga $x\in[0,1]$ ja iga lõigul $[0,1]$ pideva funktsiooni $f$ korral
defineerime
\[
(A_n f)(x)=\begin{cases}
\sqrt{n}\int_0^x f(y)\,dy,& x\leq \frac 1n,\\
\int_0^{x-\frac 1n}\frac{f(y)}{\sqrt{x-y}}\,dy+\sqrt{n}\int_{x-\frac1n}^x f(y)\,dy, & x > \frac 1n.
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
\item Veenduge, et $\h{A_n\,:\,n\in\N}$ on ruumil $C([0,1])$ tõkestatud lineaarsete operaatorite jada,
mis normi järgi koondub mingiks tõkestatud operaatoriks $A$ ruumil $C([0,1])$.
Määrake operaator $A$ ning otsustage, kas ta on kompaktne.
\item Induktsiooni abil näidake, et operaator $A$ rahuldab mistahes $n\in\N$, $x\in[0,1]$ ja 
$f\in C([0,1])$ korral
\[
\a{\s{A^{2n} f}(x)}\leq\n{f}\pi^n\frac{x^n}{n!}.
\]
Sellest määrake operaatori $A$ spektraalraadius ja spekter.
\end{enumerate}

\item Millised järgmistest bilineaarvormidest on ruumis $C([0,1])$ skalaarkorrutis:
\begin{enumerate}
\item $(f,g)=\int_0^1dx\int_0^1 f(x)\overline{g(x)}\,dy$
\item $(f,g)=\int_0^1dx\int_0^x f(y)\overline{g(y)}\,dy$
\item $(f,g)=\int_0^1 f(x)\overline{g(x)}\,dx$
\item $(f,g)=\int_0^\frac12 f(y)\overline{g(y)}\,dy$
\end{enumerate}
Kui on, kas vastav ruum on Hilberti ruum?

\item Veenduge, et vektorruumis $\ell_p$ ($1\leq p\leq2$) tähis $(x,y)=\sum_{k=1}^\infty x_k\overline{y_k}$ 
($x=(x_k)$, $y=(y_k)$) määrab skalaarkorrutise. Võrrelge normi, mis on saadud selle skalaarkorrutise põhjal
hariliku normiga ruumis $\ell_p$.

\item Iga $x\in[-1,1]$ ja iga $n=0,1,2,\dots$ korral defineerime $P_n(x)=\cos n\pi x$, $Q_n(x)=\sin n\pi x$
ning $R_n(x)=\s{\s{x^2-1}^n}^{(n)}$. Veenduge, et $\h{P_n,Q_n}$ ja $\h{R_n}$ on kaks ortogonaalset
süsteemi Hilberti ruumis $L_2(-1,1)$. Normeerige need. Kas nad on täielikud?

\item Olgu $X$ tingimust $\int_0^1 \frac{f(t)^2}t\,dt<\infty$ rahuldavate lõigul
$[0,1]$ pidevate reaalfunktsioonide hulk. Kõigi $f$ ja $g$ korral hulgast $X$ tähistame
$(f,g)=\int_0^1 \frac{f(t)g(t)}t\,dt$.
\begin{enumerate}
\item 
Näidake, et sellega on defineeritud skalaarkorrutis vektorruumis $X$ üle reaalarvude korpuse.
\item Kas $X$ on reaalne Hilberti ruum? Selleks vaadelge funktsioonide jada
\[
f_n(t)=\begin{cases} (2t)^n, & 0\leq t\leq \frac12,\\
1, & \frac12<t\leq 1
\end{cases}
\]
$n\geq1$ korral. Kas see jada on Cauchy jada meetrikas, mille defineerib ruumi $X$ sisseviidud skalaarkorrutis?
Kas see jada koondub mingiks funktsiooniks ruumis $X$?
\item Schmidti ortogonalisatsiooniprotsessis $t$, $t^2$, $t^3$ leidke loenduv ortonormeeritud süsteem
ruumis $X$. Kirjutage selle süsteemi kolm esimest elementi.
\end{enumerate}

\item Olgu $X_1$ vähim kinnine alamruum Hilberti ruumis $X=L_2(-\pi,\pi)$, mis sisaldab funktsioone
$\cos nt$ ($n=0,1,2,\dots$) ja $X_2$ vähim kinnine alamruum ruumis $X$, mis sisaldab funktsioone $f_n(t)=
\sin nt+ n\cos nt$ ($n=1,2,\dots$). Näidake, et $X_1+X_2$ on tihe alamruum ruumis $X$ ja et 
$X_1+X_2\ne X$. (Näpunäide: Näidake, et funktsioon
$f(t)=\sum_{n=1}^\infty \frac 1n \sin nt$ ei kuulu alamruumi $X_1+X_2$.)

\item Hulk $S=\h{e_n\,:\,n\in\N}$ olgu täielik ortonormeeritud süsteem separaablis Hilberti ruumis $H$.
Näidake:
\begin{enumerate}
\item $S$ on kinnine tõkestatud hulk ruumis $H$, aga ei ole kompaktne.
\item Jada $(e_n)$ hääbub nõrgalt.
\item Hulk $Q=\h{x\in H\,:\,\a{\s{x,e_n}}\leq\frac 1n}$ on kompaktne (nimetatakse Hilberti kuubiks).
\end{enumerate}

\item Hilberrti uumis $L_1(-\pi,\pi)$ defineerime funktsioonide hulga $E=\h{e_m+m e_n\,:\,m,n\in\N}$, kus
$e_n(t)=e^{int}$ iga $t\in(-\pi,\pi)$ ja kõigi $n\in\N$ korral.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et koonduv jada hulgast $E$ saab nõrgalt koonduda 
$E$ elemendiks ja funktsioonideks $e_n$, $n\in\N$. Tähistame selle hulga $E_1$, see tähendab
$E_1=E\cup\h{e_n\,:\,n\in\N}$.
\item Näidake, et hulga $E_1$ jadaline nõrk sulund võrdub $E_1\cup\h{0}$.
\item Näidake, et $0$ kuulub hulga $E$ nõrka sulundisse.
\end{enumerate}

\item Olgu $x$ suvaline element ja $(x_n)$ suvaline jada Hilberti ruumis $H$. Tõestage järgmiste väidete
samaväärsus:
\begin{enumerate}
\item $x_n\to x$
\item $(x_n,y)\to (x,y)$ kõigi $y\in H$ korral ja $\n{x_n}\to \n{x}$.
\end{enumerate}
Ülal saadud samaväärsuse abil tõestage, et projektorite jada $(P_n)$ koondub tugevalt projektoriks $P$
parajasti siis, kui ta koondub selleks nõrgalt.

\item Olgu separaabel Hilberti ruum $H$ skalaarkorrutisega $(\,,\,)$ ja temas täielik ortonormeeritud
süsteem $\h{e_n\,:\,n\in\N}$. Defineerime:
\[
X=\h{A\in L(H)\,:\,\sum_{n=1}^\infty\n{A e_n}^2<\infty},\quad
\langle A,B\rangle=\sum_{n=1}^\infty (A e_n,B e_n),\qquad
A,B\in X.
\]
Näidake:
\begin{enumerate}
\item $X$ on vektorruum skalaarkorrutise $\langle\,,\,\rangle$ suhtes.
\item Kui ülaltoodud norm tähistada $\n{\,}_2$, siis iga $A\in X$ korral kehtib
$\n{A}\leq\n{A}_2$ (kasutage elemendi $x\in H$ Fourier esitust, Cauchy-Schwarzi võrratust
ja Parsevali võrdust).
\item Kui $A\in X$, siis ka $A^*\in X$ ja kehtib $\n{A^*}_2=\n{A}$.
\item Kui $A\in X$ ja $B\in L(H)$, siis ka $AB\in X$ ja $BA\in X$ ning kehtib
$\n{AB}_2\leq \n{A}_2\n{B}$ ning $\n{BA}_2\leq\n{A}_2\n{B}$.
\item Kõik operaatorid ruumist $X$ on kompaktsed, vastupidine ei pruugi kehtida. 
Konstrueerige enesekaasne kompaktne operaator ruumis $H$, mis ei kuulu ruumi $X$.
\end{enumerate}

\item Ruumil $X=L_2(0,1)$ defineerime lineaarse operaatori kirjutisega $(Af)(x)=xf(x)$ ($x\in (0,1)$, $f\in X$).
\begin{enumerate}
\item Näidake, et $A$ on tõkestatud lineaarne operaator ruumil $X$ ja arvutage tema norm.
\item Arvutage $A^*$. Kas $A$ on enesekaasne. Kas ta on positiivne?
\item Määrake operaatori $A$ tuum ja väärtuste piirkond. Näidake, et väärtuste piirkond on tihe ruumis $X$.
\end{enumerate}

\item Ruumil $X=L_2(\R)$ defineerime tõkestatud lineaarse operaatori $A$ kirjutisega
$(Af)(x)=e^{ix}f(x)$ ($x\in\R$, $f\in X$).
\begin{enumerate}
\item Veenduge, et $A$ on pööratav operaator ja arvutage $A^{-1}$.
\item Määrake $\n{A}$ ja $\n{A^{-1}}$.
\item Näidake, et suvaliste $f,g\in X$ korral kehtib $(Af, g)=\s{f,A^{-1}g}$.
\item Kui $|\lambda|\ne1$, siis näidake, et leidub tõkestatud lineaarne operaator $(\lambda I-A)^{-1}$ ruumil $X$.
\end{enumerate}

\item Operaator $A$ on ruumil $L_2(0,1)$ defineeritud kirjutisega $(Af)(x)=\int_0^xf(t)\,dt$
($x\in (0,1)$, $f\in L_2(0,1)$).
\begin{enumerate}
\item Näidake, et $\n{A}\leq1$ ja $A^*=-A+P$, kus $P$ on projektor konstantsete funktsioonide alamruumile.
\item Kas $A$ on kompaktne operaator?
\item Milline on operaatori $A$ spekter?
\end{enumerate}

\item Hilberti ruumis $\ell_2$ on defineeritud lineaarne operaator
$A(x_1,x_2,x_3,x_4,\dots)=(x_2,x_1,x_4,x_3,\dots,x_{2n},x_{2n-1},\dots)$.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et operaator $A$ on tõkestatud ja leidke tema norm.
\item Arvutage $A^2$ ja $A^*$. Mida avastate?
\item Määrake ja klassifitseerige operaatori $A$ spekter.
\end{enumerate}

\item Olgu $a$, $b$, $a_1$ ja $b_1$ Hilberti ruumi $H$ elemendid, kusjuures elemendid $a$ ja $b$ on üksteisega
risti.
Iga $x\in H$ korral defineerime $Ax=(x,a)a_1+(x,b)b_1$.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et $A$ on tõkestatud lineaarne operaator ruumil $H$ ja leidke operaatori $A$ kaasoperaator.
\item Kui $a_1=a$ ja $b_1=b$, näidake, et operaator $A$ on enesekaasne ja positiivne ning määrake tema spekter.
\end{enumerate}

\item Olgu $a$ ja $b$ nullist erinevad vektorid lõpmatus \emph{razse\v{z}nega} Hilberti
ruumis ja $A:H\to H$ lineaarne operaator, mis on defineeritud kui $Ax=(x,a)b$ ($x\in H$).
\begin{enumerate}
\item Näidake, et operaator $A$ on tõkestatud ja määrake tema norm.
\item Arvutage $A^*$ ja otsustage, kas operaator $A$ on normaalne.
\item Milline on operaatori $A$ tuum ja väärtuste piirkond?
\item \emph{Razi\v{s}\v{c}ite} operaatori $A$ spekter.
\item Leidke lineaarse operaatorvõrrandi $x-\lambda Ax=y$ üldlahend, kus $y$ on antud vektor ruumist $H$
ja $\lambda$ on antud kompleksarv. Millal on see võrrand lahenduv?
\end{enumerate}

\item Tõestage, et suvalise distributsiooni $T$ korral lahtisel hulgal $\Omega\subset\R^n$ määratud
testfunktsioonide(?) ruumist $D(\Omega)$ on järgmised väited samaväärsed:
\begin{enumerate}
\item $T=c.\delta$, kus $c$ on konstant ja $\delta$ on Diraci distributsioon.
\item $T(f)=0$ iga $f\in D(\Omega)$ korral, mis rahuldab tingimust $f(0)=0$.
\item $xT=0$, kus $x$ on samasusfunktsioon hulgal $\Omega$.
\end{enumerate}

\item Olgu $x$ samasusfunktsioon reaalteljel, $\delta$ Diraci distributsioon ja 
$G$ distributsioon, mis on määratud peaväärtuse $\frac 1x$ kaudu. Leidke kõik distributsioonid $T$, mille korral
kehtib
\begin{enumerate}
\item $xT=1$
\item $xT=\delta$
\item $xT=G$
\end{enumerate}

\item Näidake, et kirjutisega $T(f)=\int_\R f(x)\ln |x|\,dx$ on antud reaalteljel määratud distributsioon.
Leidke tema esimene ja teine tuletis.

\item Olgu $F:\R\to\R$ funktsioon, mis on defineeritud kui
\[
F(x)=\begin{cases}0, & x\leq 0,\\
\ln x, & x>0.
\end{cases}.
\]
\begin{enumerate}
\item Näidake, et funktsioon $F$ määrab distributsiooni $T_F$ ruumil $D(\R)$.
\item Arvutage tuletis $T_F'$.
\item Veenduge, et $xT_F''+T_F'=\delta$, kus $\delta$ on Diraci distributsioon.
\end{enumerate}

\item Distributsioonide mõttes arvutage $\Delta\frac1r$, kus $r^2=x^2+y^2+z^2$ ja $\Delta$ on 
Laplace'i operaator (vaadelge distrubitsiooni, mis on määratud peaväärtuse $\frac1r$ kaudu).

\end{enumerate}


\section{Mõõdud, funktsioonid, integraalid}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{76}
\item Näidake, et järgmised funktsioonid, mis on defineeritud mistahes mittetühja hulga $X$
potentshulgal, defineerivad positiivse mõõdu:
\begin{enumerate}
\item $\mu(E)=+\infty$, kui $E$ on lõpmatu hulk, ja $\mu(E)$ on $E$ elementide arv, kui $E$ on lõplik hulk,
\item $\mu(E)=1$, kui $x_0\in E$, ja $\mu(E)=0$, kui $x_0\notin E$.
Siin $x_0$ on väljavalitud punkt hulgast $X$.
\end{enumerate}

\item Olgu $X$ mitteloenduv hulk ning $M=\h{E\subset X\,:\,\textrm{$E$ loenduv või $E^c$ loenduv}}$.
Näidake:
\begin{enumerate}
\item $M$ on $\sigma$-algebra hulgal $X$.
\item Kirjutisega $\mu(E)=0$, kui $E$ on loenduv hulk, ja $\mu(E)=1$, kui $E$ on mitteloenduv hulk, on defineeritud
positiivne mõõt $\sigma$-algebral $M$.
\end{enumerate}

\item Olgu $(X,M,\mu)$ mõõduga ruum, kus $\mu$ on positiivne mõõt ning $Y\subset X$ selline (mitte tingimata
mõõtuv) alamhulk, et kui $B\in M$ ja $B\subset X\setminus Y$, siis $\mu(B)=0$. Tähistame $M_0=\h{A\,:\,A=B\cap Y,\,B\in M}$ ja $\mu_0(A)=\mu(B)$, kui $A=B\cap B$.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et $M_0$ on $Y$ alamhulkade $\sigma$-algebra ning $\mu_0$ on temal korrektselt defineeritud positiivne
mõõt, seega $(Y,M_0,\mu_0)$ on mõõduga ruum.
\item Olgu $f:X\to\R$ mõõtuv funktsioon $M$ suhtes, näidake, et ahend $f|_Y:Y\to\R$ on mõõtuv funktsioon
$M_0$ suhtes. Vastupidine üldiselt ei kehti.
\end{enumerate}

\item Olgu $M$ hulga $X$ alamhulkade $\sigma$-algebra ja $\mu$ positiivne mõõt, mis on defineeritud $M$ hulkadel.
\begin{enumerate}
\item Mõõtuvate hulkade $A$ ja $B$ korral, kus $\mu(A\triangle B)=0$, kus $A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$ on hulkade $A$ ja $B$ sümmeetriline vahe, näidake, et $A$ ja $B$ mõõt on võrdne, see tähendab
$\mu(A)=\mu(B)$.
\item Veenduge, et kirjutisega $d(A,B)=\mu(A\triangle B)$ on $\sigma$-algebrale $M$ sisse viidud kvaasimeetrika
(see tähendab, vastavus, mis rahuldab meetrika tingimusi selle erinevusega, et $d(A,B)=0$ ei pruugi tähendada, et
$A=B$).
\item Näidake, et koondumisest $d(A_n,A)\to0$ järeldub $\mu(A_n)\to \mu(A)$.
\end{enumerate}

\item Näidake, et antud mõõtuva ruumi punktide hulk, milles mõõtuvate reaalfunktsioonide $(f_n)$ jada koondub,
on mõõtuv hulk.

\item Olgu $(E_n)$ mõõtuvate hulkade jada mõõduga ruumis $(X,\mu)$ tingimusega
$\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)<\infty$.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et iga $x\in X$ asub ülimalt lõplikus arvus hulkadest $E_n$.
\item Iga $k\in \N$ korral tähistame 
\[
A_k=\h{x\in X\,:\,\textrm{$x$ kuulub vähemalt $k$ hulka hulkade $E_n$ seast}}.
\]
Näidake, et $A_k$ on mõõtuv hulk ning kehtib 
\[
\mu(A_k)\leq\frac 1k\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n).
\]
\end{enumerate}

\item Olgu $f:\R\to\R$ suvaline (Lebesgue'i mõttes) mõõtuv funktsioon, mis on aditiivne (see tähendab,
iga $x,y\in\R$ korral $f(x+y)=f(x)+f(y)$). Tähistame iga $x\ne0$ korral
$g(t)=f(t)-\frac{f(x)}x t$ ($t\in\R$).
\begin{enumerate}
\item Näidake, et funktsioon $g$ on perioodiline perioodiga $x$, et kehtib $g(2t)=2g(t)$ ning kehtib võrdus
\[
\int_0^x\frac{dt}{1+|g(t)|}=\int_0^x\frac{dt}{1+2|g(t)|}.
\]
\item Punktis (a) saadut kasutades näidake, et $g(t)=0$ kõigi arvude $t$ jaoks $0$ ja $x$ vahel
ja seega kõigi $x\in\R$ korral kehtib $f(x)=f(1)x$.
\end{enumerate}

\item Valime reaalse funktsiooni $h$, mille korral $h(x)=0$, kui $x<0$, ja $h(x)=xe^{-x}$, kui $x\geq0$.
\begin{enumerate}
\item Tähistagu $z$ Lebesgue'i mõõtu ruumil $\R$. Näidake, et kirjutisega $\mu(A)=\int_Ah\,dm$ on defineeritud
lõplik positiivne Boreli mõõt reaalteljel kandjaga $\h{x\in\R\,:\,x\geq0}$.
\item Näidake, et vastavus $f\mapsto\int_\R f\,d\mu$ osutub distributsiooniks reaalteljel ja
arvutage tema \emph{odvod}.
\end{enumerate}

\item Mida annab Fatou lemma funktsioonide $f_n=\chi_E$ jada korral, kus $n$ on paarisarv, ja
$f_n=1-\chi_E$, kus $n$ on paaritu arv, kus $E$ on suvaline mõõtuv hulk? Sama küsimus
jada $f_n=\chi_{[n,2n]}$ kohta.

\item Milliste järgnevate reaalsete lõigul $[0,1]$ määratud mõõtuvate funktsioonide
jadade puhul on võimalik vahetada integraali ja piirväärtuse märgid ning milliste puhul mitte?
Milliste jaoks saab kasutada Lebesgue'i domineeritud koonduvuse teoreemi ja milliste jaoks Lebesgue'i
monotoonse koonduvuse teoreemi? ($m$ on Lebesgue'i mõõt lõigul $[0,1]$.)
\begin{enumerate}
\item $\lim_{n\to\infty}\int_0^1\chi_{\left[0,1-\frac1n\right]}\,dm$
\item $\lim_{n\to\infty}\int_0^1\chi_{\left[\frac1{n+1},\frac1n\right]}\,dm$
\item $\lim_{n\to\infty}\int_0^1\s{1-\frac1n}\chi_{\left[\frac1n,1\right]}\,dm$
\item $\lim_{n\to\infty}\int_0^1n\chi_{\left[0,\frac1n\right]}\,dm$
\end{enumerate}

\item Näidake, et $x>0$ korral määratud funktsioonid $f_n(x)=\s{1-\frac xn}^ne^\frac x2$ ja $g_n(x)=\s{1+\frac xn}^ne^{-2x}$ on kasvavad ning arvutage piirväärtused 
$\lim_{n\to\infty}\int_0^n f_n(x)\,dx$ ning $\lim_{n\to\infty}\int_0^n g_n(x)\,dx$.
Kasutage Lebesgue'i monotoonse koonduvuse teoreemi, siiski \emph{njegovo uporabo utemeljite}.
Kas tasub kasutada ka Lebesgue'i domineeritud koonduvuse teoreemi? Arvutage korrektselt
$\lim_{n\to\infty}\int_0^\infty\s{1+\frac{x^2}n}^{-n}\,dx$.

\item Olgu $f$ tõkestatud pidev funktsioon $\R$-st $\R$-i.
\begin{enumerate}
\item
Kas võib kasutada Lebesgue'i domineeritud koonduvuse teoeermi järgmiste piirväärtuste ($n\to\infty$)
arvutamiseks:
\[
\int_{-\infty}^\infty n e^{-n^2 x^2} f(x)\,dx,\qquad\qquad
\int_{-\infty}^\infty n x e^{-n^2 x^2} f(x)\,dx.
\]
\item Näidake, et kirjutisega
\[
T_n(f)=\int_{-\infty}^\infty ne^{-n^2x^2} f(x)\,dx
\]
($f\in D(\R)$) on defineeritud distributsioonide jada $\R$-l. Arvutage piirdistributsioon
$T=\lim_{n\to\infty} T_n$.
\end{enumerate}

\item Naturaalarvude hulga $\N$ potentshulga $P(\N)$ elementidel defineerime vastavuse $\mu:P(\N)\to[0,\infty]$
kirjutisega $\mu(E)=\sum_{k\in E}\frac 1k$ ($E\subset N$). Näidake, et $\mu$ on positiivne mõõt ruumil
$P(\N)$. Etteantud kompleksarvude jada $(a_n)$ korral, mis rahuldavad $\sum_{k=1}^\infty \frac{|a_k|}k<\infty$,
tähistame iga $k,n\in\N$ jaoks $f_n(x)=k\frac{a_k}n$, kui $k\leq n$, ja $f_n(k)=0$, kui $k>n$.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et leidub funktsioon $g\in L_1(\mu)$ nii, et $|f_n(k)|\leq g(k)$ iga $k\in\N$ korral.
\item Iga $n\in\N$ korral arvutage $\int_\N f_n\,d\mu$, näidake, et integraalide jada koondub ja leidke
$\lim_{n\to\infty}\int_\N f_n\,d\mu$. Milline on üldisem tulemus?
\end{enumerate}

\item Olgu $f$ suvaline mõõtuv funktsioon mõõduga ruumis $X$ (mõõdu $\mu$ suhtes).
\begin{enumerate}
\item Näidake, et iga mõõtuva hulga $E\subset X$ korral kehtib $\int_E|f|\,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_E f_n\,d\mu$,
kus $f_n=\min\h{|f|,n}$.
\item Olgu $f\in L_1(\mu)$ ning iga $\varepsilon>0$ korral naturaalarv $n$ selline, et
$\int_X|f|\,d\mu-\int_X f_n\,d\mu<\frac\varepsilon2$. Tähistame
$\delta=\frac\varepsilon{2n}$. Veenduge, et nüüd mistahes mõõtuva hulga $E$ korral, mille mõõt
$\mu(E)<\delta$, kehtib $\int_E|f|\,d\mu<\varepsilon$.
\end{enumerate}

\item Olgu $f\in L_1(\R,m)$, kus $m$ on harilik Lebesgue'i mõõt ruumil $\R$, $x\in \R$ antud arv,
$(x_n)$ suvaline reaalarvude jada, mis koondub arvuks $x$ ning $F(x)=\int_{(-\infty,x]} f\,dm$.
\begin{enumerate}
\item Veenduge, et funktsioonide $g_n=\chi_{(-\infty,x_n]}f$ jada koondub igas punktis $t\in\R$
välja arvatud võib-olla punktis $x$.
\item Näidake, et $F(x_n)$ koondub arvuks $F(x)$, seega $F$ on pidev funktsioon $\R$-l.
\end{enumerate}

\item Olgu $f_n:X\to[0,\infty]$ mõõtuvad funktsioonid iga $n\in\N$ korral ja kehtigu $f_1\geq f_2\geq f_3\geq\dots\geq0$
ning $f_1\in L_1(\mu)$. Olgu antud mõõtuv funktsioon $f$ ja $f_n(x)\to f(x)$ iga $x\in X$ korral.
Näidake, et kehtib 
\[
\lim_{n\to\infty}\int_Xf_n\,d\mu=\int_Xf\,d\mu.
\]
Kui $f_1\notin L_1(\mu)$, väide üldiselt ei kehti. Leidke kontranäide.

\item Seoses \emph{s padajo\v{c}imi} funktsioonide jadaga lahendage järgmised ülesanded:
\begin{enumerate}
\item Veenduge, et lõigul $[1,x]$ ($x>1$) funktsioonide jada $f_n(t)=t^\frac1{n-1}$ ($n\in\N$) on
\emph{padajo\v{c}e}. Arvutage $\lim_{n\to\infty}\int_1^x f_n(t)\,dt$ ja $\int_1^x\lim_{n\to\infty}f_n(t)\,dt$,
näidake, et kaks saadud suurust võrduvad ning selle põhjal leidke piirväärtus $\lim_{n\to\infty} n\s{x^\frac 1n - 1}$.
\item
Olgu $f\in L_1(0,1)$ reaalne funktsioon tingimusega $f\geq1$. Näidake, et funktsioonid
$f^\frac 1n$ (kõigi $n\in\N$ korral) ja $\ln f$ on kõik $L_1(0,1)$ elemendid,
jada
\[
n\s{\n{f^\frac 1n}_1-1}
\]
on monotoonne ja koondub väärtuseks $\int_0^1\ln f(t)\,dt$. Millega võrdub
$\lim_{n\to\infty}\n{f^\frac 1n}_1^n$?
\end{enumerate}

\item Olgu $X$ vektorruum Lebesgue'i mõttes mõõtuvate peaaegu kõikjal võrdsete
funktsioonide ekvivalentsiklassidest lõigul $[0,1]$,
defineerime vastavuse $d:X\times X\to \R$ kirjutisega
\[
d(f,g)=\int_0^1\frac{|f-g|}{1+|f-g|}\,dm.
\]
\begin{enumerate}
\item Näidake, et $d$ on nihke suhtes invariantne meetrika ruumil $X$.
\item Olgu $f\in X$ ja $f_n\in X$ kõigi $n\in\N$ korral, näidake, et koondumisest $f_n\to f$ (peaaegu kõikjal??)
järeldub $f_n\to f$ (meetrikas $d$).
\item Olgu $f\in X$ ja $f_n\in X$ ning $E_n=\h{x\,:\,f_n(x)\ne f(x)}$ kõigi $n\in\N$ korral, veenduge, et
\[
d(f_n,f)\leq m(E_n).
\]
\item Olgu iga $n\in \N$ korral $f_n$ lõigu $\left[\frac j{2^k},\frac{j+1}{2^k}\right]$ karakteristlik
funktsion, kus $n=2^k+j$, $0\leq j<2^k$ ning $k=0,1,2,\dots$. Kas jada $(f_n)$ koondub lõigu
$[0,1]$ igas punktis? Kas koondub meetrikas $d$?

\end{enumerate}

\item 
Olgu $X$ mõõduga ruum (mõõdu $\mu$ suhtes) ning $f$ ja $f_n$ mõõtuv funktsioon ruumil $X$.
Eeldame, et jada $(f_n)$ koondub funktsiooniks $f$ mõõdu järgi, see tähendab iga
iga $\delta>0$ kehtib $\lim_{n\to\infty}\mu\s{\h{x\in X\,:\,\a{f(x)-f_n(x)}\geq\delta}}=0$.
\begin{enumerate}
\item 
Näidake, et $f_n\to f$ (mõõdu järgi) on samaväärne sellega, kui iga
$\varepsilon>0$ korral leidub $n_0$, et võrratusest $n\geq n_0$ 
järeldub 
\[
\mu\s{\h{x\in X\,:\,\a{f(x)-f_n(x)}>\varepsilon}}<\varepsilon.
\]

\item Olgu $\mu(X)<\infty$ ja suvaliste mõõtuvate funktsioonide $f$ ja $g$ korral tähistame
$d(f,g)=\int_X\frac{|f-g|}{1+|f-g|}\,d\mu$, näidake, et $d$ on meetrika mõõtuvate funktsioonide ruumil ning
$f_n\to f$ meetrikas $d$ parajasti siis, kui $f_n\to f$ mõõdu järgi.

\item Veenduge, et tingimusel $\mu(X)<\infty$ väitest $f_n\to f$ (peaaegu kõikjal)
järeldub $f_n\to f$ (mõõdu järgi) ning et see implikatsioon ei kehti, kui $\nu(X)=+\infty$ (leidke
kontranäide). Kas kehtib ka vastupidine implikatsioon?
\end{enumerate}

\item Olgu $X=[-1,1]$, $C(X)$ hulgal $X$ kõigi pidevate kompleksväärtustega funktsioonide ruum ning
$F(f)=f(0)$ kõigi $f\in C(X)$ korral.

\begin{enumerate}
\item Näidake, et $F$ on tõkestatud lineaarne funktsionaal ruumil $C(X)$ ning funktsionaali $F$ ühegi jätku
$G$ korral ruumile $L_\infty(X)$ ei leidu funktsiooni $g\in L_1(X)$, et iga $f\in L_\infty(X)$ jaoks kehtiks
\[
G(f)=\int_{-1}^1 f(x)g(x)\,dx.
\]
(Tulemus näitab, et $L_\infty(X)^*\not\cong L_1(X)$.)

\item Veenduge, et $F$ on ka tõkestatud positiivne lineaarne funktsionaal ruumil $C_c(X)$, mis
on ruumil $X$ kompaktse kandjaga pidevate funktsioonide ruum, ning tooge sisse
positiivne Boreli mõõt ruumil $X$, mis vastab $F$-le Rieszi esitusteoreemi põhjal. Kas see sissetoodud
mõõt on regulaarne?
\end{enumerate}

\item Näidake, et järgnevad Boreli mõõdud on sisse toodud Rieszi esitusteoreemi kaudu:
\begin{enumerate}
\item Mõõt, mis eraldab punktid (???) reaalsirgel loomuliku topoloogia suhtes.
\item Ruum $X_1=(-\infty,0)$, mis on varustatud loomuliku topoloogiaga, on lokaalselt
kompaktne Hausdorffi ruum. Olgu $\mu_1$ mõõt, mis Rieszi esitusteoreemi põhjal vastab
positiivsele lineaarsele funktsionaalile $F_1(f)=\int_{X_1}\frac{f(x)}{|x|}\,dx$ ruumil
$C_c(X_1)$. Olgu $\mu_2$ mõõt, mis Rieszi esitusteoreemi põhjal võrdub defineeritud
positiivse lineaarse funktsionaaliga ruumil $C_c(X_2)$, kus $X_2=(0,+\infty)$.
Tähistame (i) $X=\R$, (ii) kui $M_1$ on üks ja $M_2$ on teine $\sigma$-algebra, siis olgu
\[
M=\h{E\,:\,E=E_1\cup E_2\cup \h{0}\textrm{ või }E=E_1\cup E_2,\,E_1\in M_1,\,E_2\in M_2},
\]
(iii) kui $E=E_1\cup E_2$ (või $E=E_1\cup E_2\cup \h{0}$), $E_1\in M_1$, $E_2\in M_2$, siis
$\mu(E)=\mu_1(E_1)+\mu_2(E_2)$.

Näidake, et tekkinud $(X,M,\mu)$ on mõõduga ruum. Veenduge, et leidub kompaktne hulk ruumis $X$,
mille mõõt ei ole lõplik.
\end{enumerate}

\item Reaalsel tasandil $X=\R^2$ toome sisse topoloogia sellisel viisil, et iga lahtise hulga
jaoks vaatleme kõiki tasandi hulki, mille ühisosa iga tõusva sirgega on lahtine hulk selle sirge
loomulikus topoloogias. Näidake:
\begin{enumerate}
\item 
$X$ on lokaalselt kompaktne Hausdorffi topoloogiline ruum.
\item $K$ on kompaktne hulk ruumis $X$ parajasti siis, kui $K$ on tõusvatel sirgetel
asuvate kompaktsete hulkade lõplik ühend.
\end{enumerate}
Tooge sisse mõõt $\mu$, mis Rieszi esitusteoreemi põhjal vastab positiivsele lineaarsele
funktsionaalile 
\[
F(f)=\sum_{i=1}^n \int_{-\infty}^\infty f(x_i,y)\,dy
\]
ruumil $C_c(X)$ (punktid $x_1,x_2,\dots,x_n$ on sellised, mille korral leidub vähemalt üks $y$, et
$f(x_i,y)\ne0$). Kui $E$ on abstsissteljega võrdne hulk, näidake, et iga lahtise hulga $V$ korral, 
mis sisaldab hulka $E$, kehtib $\mu(V)=+\infty$, ning iga kompaktse hulga $K$ korral, mis sisaldub
hulgas $E$, kehtib $\mu(K)=0$.

\item Olgu $X=[-1,1]$, $m$ Lebesgue'i mõõt, $g\in L_1(X,m)$ reaalne funktsioon, $E=\h{x\,:\,g(x)<-\frac1k}$,
$k\in\N$ ja $m(E)>0$.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et leiduvad kompaktne hulk $K$ ja lahtine hulk $V$ nii, et $K\subset E\subset V$,
$m(K)>\frac{m(E)}2$ ja $\int_{V\setminus E}\a{g}\,dm<\frac{m(E)}{2k}$.
\item Punkti (a) tulemuse abil näidake, et tingimusest $\int_X fg\,dm\geq 0$ (iga mittenegatiivse
pideva funktsiooni $f$ korral) järeldub $g\geq0$ peaaegu kõikjal (võtke $K\prec f\prec V$, kus $K$
ja $V$ on pärit punktist (a)).
\item Punkti (b) tulemuse abil näidake, et tingimusest $\int_X fg\,dm=0$ (iga pideva funktsiooni
$f$ korral) järeldub $g=0$ peaaegu kõikjal. See kehtib ka, kui $g$ on kompleksne funktsioon.
\end{enumerate}

\item Olgu $T=\h{z\in \C\,:\,|z|=1}$, $f:[0,2\pi)\to T$ vastavus, mis on defineeritud kui
$f(t)=e^{it}$. Tähistame 
\[
M=\h{A\subset T\,:\,f^{-1}(A)\textrm{ on Lebesgue'i mõttes mõõtuv ruumil }[0,2\pi)}
\]
ning $\mu(A)=m\s{f^{-1}(A)}$, kus $A\subset T$ ja $m$ on harilik Lebesgue'i mõõt sirgel.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et $\mu$ on lõplik positiivne mõõt $\sigma$-algebral $M$.
\item Olgu $f\in L_1(T,\mu)$ ja $g:T\to \C$ funktsioon, mis on defineeritud kirjutisega 
$g(z)=f(z^2)$ ($z\in T$). Kas $g$ on ruumi $L_1(T,\mu)$ element?
\end{enumerate}

\item Olgu $X=\h{a,b}$ ($a\ne b$), $\mu(\h{a})=1$, $\mu(\h{b})=\mu(X)=+\infty$ ja $\mu(\emptyset)=0$, kirjeldage
$L_1(\mu)^*$ ja $L_\infty(\mu)$ ning näidake, et need kaks ruumi ei ole isomeetriliselt isomorfsed.

\item Olgu $(X,\infty)$ suvaline mõõduga ruum ja $g\in L_1(X,\mu)$. Defineerime $F(f)=\int_X f\overline{g}\,d\mu$ ($f\in L_\infty(X,\mu)$). Näidake:
\begin{enumerate}
\item $F\in L_\infty(X,\mu)^*$ ja $\n{F}=\n{g}_1$.
\item Ruum $L_1(0,1)$ (Lebesgue'i mõõdu suhtes) ei ole refleksiivne (veenduge, et mitte iga
tõkestatud lineaarne funktsionaal ruumil $L_\infty(0,1)$ ei ole funktsionaali $F$ kujul).
\item Ruum $L_\infty(0,1)$ ei ole separaabel.
\end{enumerate}

\item Olgu $\mu(X)<\infty$ ja $f\in L_1(\mu)$, $f\geq0$. Näidake, et siis ka $\sqrt{1+f^2}\in L_1(\mu)$.
\begin{enumerate}
\item Kui $\mu(x)=1$ ja $A=\int_X f\,d\mu$, näidake, et kehtib 
\[
\sqrt{1+A^2}\leq\int_X\sqrt{1+f^2}\,d\mu\leq
1+A.
\]
\item Millal kehtib punktis (a) võrdus kummalgi võrratuse poolel?
\item Olgu $\mu$ harilik (Lebesgue'i) mõõt lõigul $[0,1]$ ja $f=g'$, kus $g$
on diferentseeruva funktsiooni tuletis lõigul $[0,1]$, tooge geomeetriline
tõlgendus punktis (a) toodud võrratustele.
\end{enumerate}

\item Tõestage järgnevad omadused seoses ruumiga $L_p$:
\begin{enumerate}
\item
Kui $\mu(X)<\infty$ ja $0<p<q<\infty$, siis $L_q(\mu)\subset L_p(\mu)$ ning kehtib $\n{f}_p\leq
\n{f}_q\mu(X)^{\frac 1p-\frac 1q}$, kus $f\in L_q(\mu)$.
\item Kui $0<p<r<q<\infty$ ja $f\in L_p(\mu)\cap L_q(\mu)$, siis $f\in L_r(\mu)$.
\item Funktsioon $\varphi(r)=\log\n{f}^r_r$ on kumer vahemikus $(p,q)$.
\end{enumerate}

\item Olgu $m$ Lebesgue'i mõõt reaalteljel ning $p>0$, leidke
\begin{enumerate}
\item funktsioon $f\in L_p(m)$, et $f\notin L_{p+\delta}(m)$ iga $\delta>0$ korral,
\item funktsioon $f$ hulgal $\R$, et $f\in L_{p-\delta}(m)$ iga $\delta>0$ korral ja 
$f\notin L_p(m)$,
\item funktsioon $f$ hulgal $\R$, et $f\in L_p(m)$ ja $f\notin L_{p+\delta}(m)$, kui $\delta\ne0$.
\end{enumerate}

\item Olgu $X$ mõõduga ruum, $\mu$ mõõt ruumil $X$, $p\geq1$ ja $f,f_n\in L_p(\mu)$ iga $n\in \N$ korral.
\begin{enumerate}
\item Kui $\n{f-f_n}_p\to0$, näidake, et $f_n\to f$ mõõdu järgi. Tooge näide, et vastupidine ei kehti.
\item Võrrelge omavahel koonduvusi $\n{f-f_n}_p\to0$ ja $f_n\to f$ peaaegu kõikjal. Kas
nende vahel on üldse mingit seost? Tooge mõned konkreetsed näited.
\end{enumerate}
Mis toimub punktides (a) ja (b), kui $p=\infty$?

\item Nõrga koonduvuse ruumil $L_p(\mu)$, $1\leq p<\infty$, defineerime
kirjutisega $f_n\to f$ (nõrgalt) parajasti siis, kui kehtib $\lim_{n\to\infty}\int_X f_n g\,d\mu
=\int_X fg\,d\mu$ kõigi $g\in L_q(\mu)$ korral, kus $\frac1p+\frac 1q=1$ (kui $p=1$, siis $q=\infty$). Näidake:
\begin{enumerate}
\item Kui $\n{f-f_n}_p\to0$, siis $f_n\to f$ (nõrgalt). Veenduge, et vastupidine üldiselt ei kehti.
\item Võrrelge koonduvust peaaegu kõikjal, koonduvust mõõdu järgi ja ühtlast koonduvust nõrga koonduvusega
ruumis $L_p(\mu)$. Näidake näidetena, et üldiselt nende seas ei ole seost. Mis leiab aset näiteks, kui
$\mu(X)<\infty$.
\end{enumerate}

\item Olgu $n$ mingi naturaalarv, $X=\h{z_0,z_1,\dots,z_{n-1}}$, kus
$z_k=\exp\s{\frac{2ik\pi}n}$ ($0\leq k\leq n-1$) on $n$-nes ühejuur, $M=\h{E\subset X\,:\,E=-E}$ ja
$\mu(E)=\sum_{z_k\in E} z_k^2$.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et $M$ on (lõplik) $\sigma$-algebra ruumil $X$ ja $\mu$ on kompleksmõõt ruumil $M$.
\item Leidke $|\mu|$ ja arvutage $\mu(X)$ ning $|\mu|(X)$.
\end{enumerate}

\item Valime suvalise elemendi $(a_k)$ ruumist $\ell_1$. Iga alamhulga $E\subset\N$ korral tähistame $\mu(E)=\sum_{k\in E}a_k$, näidake, et $\mu$ on kompleksmõõt ruumil $P(\N)$. Arvutage täisvariatsioon
$|\mu|$ ja norm $\n{\mu}$. Näidake, et vastavus, mis seab $\ell_1$ igale elemendile vastavusse selliselt
defineeritud kompleksmõõdu ruumil $P(\N)$, on isomeetriline isomorfism $\ell_1$ ja ruumil $P(\N)$ tegutsevate
kompleksmõõtude Banachi ruumi vahel.

\item Olgu $\nu$ reaalne mõõt $\sigma$-algebral $M$, näidake, et iga hulga $E\subset M$ korral kehtib
\begin{enumerate}
\item $\nu^+(E)=\sup\h{\nu(F)\,:\,F\in M\,\land\,F\subset E}$,
\item $\nu^-(E)=-\inf\h{\nu(F)\,:\,F\in M\,\land\,F\subset E}$.
\end{enumerate}

\item Ruumil $X=L_1(-1,1)$ defineerime lineaarse funktsionaali $F$ kirjutisega 
\[
F(f)=-\int_{-1}^0 f(t)\,dt+\int_0^1 f(t)\,dt.
\]
\begin{enumerate}
\item Veenduge, et $F$ on tõkestatud lineaarne funktsionaal ruumil $X$ ja leidke tema norm.
\item Näidake, et leidub reaalne Boreli mõõt $\mu$, mille korral $F(f)=\int_X f\,d\mu$ iga
$f\in X$ korral. (Näpunäide: kõigepealt leidke funktsioon
$g\in L_1(-1,1)$ selliselt, et $F(f)=\int_{-1}^1 f(t)g(t)\,dt$ iga $f\in X$ korral.)
\item Näidake, et mõõt punktist (b) on absoluutselt pidev Lebesgue'i mõõdu suhtes, ning arvutage
tema norm $\n{\mu}=\a{\mu}(X)$.
\item Kas kehtib väide (b) mistahes tõkestatud lineaarse funktsionaali $F$ jaoks ruumil $X$?
\end{enumerate}

\item Olgu $X$ lokaalselt kompaktne Hausdorffi topoloogiline ruum, olgu reaaltelje lõik $[0,1]$ 
varustatud diskreetse topoloogiaga, $g$ olgu lõigul $[0,1]$ defineeritud 
mittenegatiivne reaalväärtustega funktsioon.
\begin{enumerate}
\item Millised on Boreli hulgad ruumis $X$ ja millised on pidevad funktsioonid kompaktse kandjaga?
\item Veenduge, et kirjutisega $F_g(f)=\sum_{x\in X}f(x)g(x)$ on defineeritud
positiivne lineaarne funktsionaal $F_g$ ruumil $C_c(X)$. Tooge sisse positiivne Boreli mõõt
$\mu_g$, mis vastab funktsionaalile $F_g$ Rieszi esitusteoreemi järgi. Kui palju on selliseid funktsioone $g$, 
et mõõt $\mu_g$ on lõplik või $\sigma$-lõplik?
\item Olgu $g_1$ ja $g_2$ mittenegatiivsed reaalväärtustega funktsioonid lõigul $[0,1]$. Näidake, et
\begin{enumerate}
\item $\mu_{g_1}\ll\mu_{g_2}$ parajasti siis, kui tingimusest $g_2(x)=0$ järeldub tingimus $g_1(x)=0$,
\item $\mu_{g_1}\perp \mu_{g_2}$ parajasti siis, kui $g_1(x)g_2(x)=0$ kõigi $x\in[0,1]$ korral.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item Olgu $\mu$ mõõt, mis on määratud?? (\v{s}teje to\v{c}ke) ruumil $(0,1)$
Lebesgue'i mõttes mõõtuvate
funktsioonide $\sigma$-algebral ja $m$ harilik Lebesgue'i mõõt ruumil $(0,1)$. Näidake:
\begin{enumerate}
\item Mõõdu $\mu$ jaoks ei leidu Lebesgue'i lahutust mõõdu $m$ suhtes.
\item Mõõt $m$ on absoluutselt pidev mõõdu $\mu$ suhtes, see tähendab, ei leidu
funktsiooni $h\in L_1(\mu)$ nii, et $m(E)=\int_E h\,d\mu$ iga mõõtuva hulga $E$ korral.
\end{enumerate}

\item Olgu $X=\R^2$, $\mu$ mõõt nagu ülesandes 98 ja $\nu$ mõõt, mille teeme samamoodi kui
$\mu$, aga vahetame
teljed $x$ ja $y$. Kui mõõt $\mu$ defineerida $\sigma$-algebral $M_\mu$ ja mõõt $\nu$ $\sigma$-algebral
$M_\nu$, siis selgitage, et $(X,M_\mu\cap M_\nu,\mu+\nu)$ on mõõduga ruum mõõdu $\mu+\nu$ suhtes.
Veenduge, et $\mu\ll\mu+\nu$ ja näidake, et ühegi funktsiooni $f$ korral ruumil $X$ võrdus
\[
\mu(E)=\int_E f\,d\s{\mu+\nu}
\]
kõigi mõõtuvate hulkade $E$ jaoks kehtida ei saa.

Kas see tulemus on kooskõlas Radon-Nikod\'ymi teoreemiga?

\item Olgu $X$ mõõduga ruum ning temal positiivsed lõplikud mõõdud $\mu$ ja $\nu$. Näidake, et $\nu\ll\mu+\nu$ ning
et leidub mõõtuv integreeruv reaalfunktsioon $f$ ruumil $X$ väärtustega $0$ ja $1$ vahel, et 
iga mõõtuva hulga $E$ korral kehtib
\[
\int_E\s{1-f}\,d\nu=\int_E f\,d\mu.
\]
Kui $A=\h{x\in X\,:\,0\leq f(x)<1}$ ja $B=\h{x\in X\,:\,f(x)=1}$, 
$\nu_a(E)=\nu(A\cap E)$ ja $\nu_s(E)=\nu(B\cap E)$ mistahes mõõtuva hulga $E$ korral, näidake, et kehtib
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\mu(B)=0$,
\item $\mu(E)=0\,\land\,E\subset A\Rightarrow \nu(E)=0$,
\item $\nu_a\ll\mu$,
\item $\nu_s\perp \mu$.
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Olgu $m$ harilik Lebesgue'i mõõt lõigul $[-1,1]$. Defineerime suavlise Lebesgue'i mõttes mõõtuva
hulga $E\subset [-1,1]$ korral 
$\mu(E)=m(E)+im\h{E\cap [0,1]}$ ja $\nu(E)=m\h{E\cap [-1,0]}$.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et $\mu$ on kompleksmõõt ja $\nu$ lõplik positiivne mõõt lõigul $[-1,1]$. Leidke mõõdu
$\mu$ Lebesgue'i lahutus mõõdu $\nu$ järgi.
\item Leidke $|\mu$| ja veenduge, et $\nu\ll|\mu|$. Leidke mõõtuvad funktsioonid $f$ ja $g$, mille korral kehtivad
$\mu(E)=\int_E f\,d|\mu|$ ja $\nu(E)=\int_E g\,d|\mu|$ mistahes mõõtuva hulga $E$ korral.
\end{enumerate}

\item Olgu $X$ lokaalselt kompaktne eralduv topoloogiline ruum, millel leidub regulaarne Boreli kompleksmõõt
$\mu$ nii, et $\mu\s{\h{x}}=0$ iga $x\in X$ korral, kuid $|\mu|(X)>0$.
Näidake, et samal ajal Banachi ruum $C_0(X)$ ei ole refleksiivne (defineerige tõkestatud lineaarne
funktsionaal $F$ kõigi regulaarsete Boreli kompleksmõõtude ruumil $M(X)$ kirjutisega $F(\nu)=\sum_{x\in X}\nu(\h{x})$).

\item Olgu $\mu$ mõõt, mis eraldab punktid?? (\emph{\v{s}teje to\v{c}ke}) lõigul $[0,1]$,
$m$ Lebesgue'i mõõt lõigul $[0,1]$, $D=\h{(x,x)\,:\,x\in [0,1]}$ ja $X=Y=[0,1]$. Tõestage, et kehtib
\[
\int_Ydm\int_X\chi_D\,d\mu\ne\int_Xd\mu \int_Y\chi_D\,dm.
\]
Kas see on kooskõlas Fubini teoreemiga?

\item Kõigi järgnevate funktsioonide korral hulgal $\R\times\R$ arvutage kõik kahekordsed integraalid
$f$ ja $|f|$ jaoks lõigul $[0,1]$, täpsemalt $\int_0^1dy\int_0^1f(x,y)\,dx$,
$\int_0^1dx\int_0^1f(x,y)\,dy$,
$\int_0^1dy\int_0^1|f(x,y)|\,dx$ ja
$\int_0^1dx\int_0^1|f(x,y)|\,dy$,
ning võrrelge tulemust Fubini teoreemiga:
\begin{enumerate}
\item $f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$,
\item $f(x,y)=\frac{x-y}{(x^2+y^2)^\frac32}$,
\item $f(x,y)=\begin{cases} \frac1{\s{x-\frac12}^3}, & 0 < y<\a{x-\frac12},\\
0, & \textrm{mujal}
\end{cases}$
\item $f(x,y)=\frac1{(1-xy)^p}$, $p>0$.
\end{enumerate}

\item Tõestage, et võrrandil
\[
u(x)=1+\int_x^1 u(t) u(t-x)\,dt
\]
($0\leq x\leq 1$) ei ole ühtki reaalset lahendit $u=u(x)$.
Näpunäide: Võrrandi iga lahend oleks mõõtuv funktsioon. Veenduge, et see oleks ka absoluutselt
integreeruv, see tähendab, ruumi $L_1(0,1)$ element. Integreerige mõlemat võrduse poolt ja kasutage
Fubini teoreemi.

\item Olgu $\mu$ suvaline Boreli kompleksmõõt ruumis $\R^2$ ja moodustame funktsiooni
$f(x,y)=\mu(P(x,y))$, kus $P(x,y)$ on ???? (Vitali) hulkade süsteemiks võtame kõik lahtised
ruudud. Kui funktsioonil $f$ leidub punktis $(x,y)$ teist järku segaosatuletis, näidake, et
see on võrdne mõõdu $\mu$ tuletisega Lebesgue'i mõõdu järgi.

\item Kui tõkestatud mõõtuva hulga $A\subset\R$ ja arvu $x\in\R$ korral leidub piirväärtus
\[
\lim_{\substack{h\to0\\ h>0}}\frac 1{2h} m(A\cap (x-h,x+h)),
\]
siis nimetame seda hulga $A$ tiheduseks punktis $x$ ja kirjutame $D_A(x)$. Näidake:
\begin{enumerate}
\item Peaaegu kõigi $x\in\R$ korral $D_A(x)=f'(x)$, kus $f$ on mingi mittenegatiivne
mittekahanev?? absoluutselt pidev funktsioon hulgal $\R$ (????)
\item Hulga $A$ tihedus on peaaegu kõigi $x\in A$ korral võrdne $1$ ja peaaegu kõigi $x\notin A$ korral
võrdne $0$.
\item Hulk $B=\h{x\in\R\,:\,D_A(x)=1}$ on mõõtuv, tema mõõt on võrdne hulga $A$ mõõduga,
tihedus tema igas punktis on võrdne $1$.
\end{enumerate}

\item On antud kompleksfunktsioon $f(x)=\begin{cases} 0, & -\infty < x \leq 0,\\
x+i, & 0<x\leq 1,\\
1, & 1<x<\infty.
\end{cases}$
\begin{enumerate}
\item Arvutage täisvariatsioon $T_f(x)$ piirkonnas $(-\infty,x]$. Kas funktsioon $f$ on normaliseeritav???
\item Leidke $f$ singulaarne ja absoluutselt pidev osa, leidke tuletis $f'$ ja kirjutage
tema Lebesgue'i lahutus.
\end{enumerate}

\item Olgu $E\subset\R$ suvaline nullmõõduga hulk (Lebesgue'i mõõdu mõttes), 
$(V_n)$ lahtiste hulkade kahanev jada ruumis $\R$ selliselt, et $E\subset V_n$
ja $m(V_n)<2^{-n}$ iga $n\in\N$ korral, ning $g=\sum_{n=1}^\infty\chi_{V_n}$.
\begin{enumerate}
\item Veenduge, et $g\in L_1(\R)$ ja et funktsioon $f$, mis on sisse toodud võrdusega
$f(x)=\int_{-\infty}^x g(t)\,dt$ ($x\in\R$) on absoluutselt pidev monotoonne funktsioon
ning NBV (see tähendab, normaliseeritav tõkestatud täisvariatsiooniga).
\item Näidake, et iga $x\in E$ korral kehtib $f'(x)=+\infty$.
\end{enumerate}

\item Lõigul $[0,1]$ defineerime reaalsete funktsioonide jada järgmisel viisil.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\theenumii}{\arabic{enumii}}
\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii.}
\item Kõigi $n=0,1,2,3,\dots$ korral olgu $f_n(0)=0$, $f_n(1)=1$ ja $f_0(x)=x$.
\item Kõigi $n=1,2,3,\dots$ korral olgu $f_n\s{\frac12}=\frac13 f_0(0)+\frac 23 f_0(1)$ ja
$f_1$ on lineaarne lõikudel $\left[0,\frac12\right]$ ning $\left[\frac12,1\right]$.
\end{enumerate}
\dots
\begin{enumerate}
\renewcommand{\theenumii}{\arabic{enumii}}
\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii.}
\item[$k$.] Kõigi $n=k,k+1,k+2,\dots$ koral olgu $f_n\s{\frac{2i+1}{2^k}}=\frac13 f_{k-1}\s{\frac{i}{2^{k-1}}}+
\frac23 f_{k-1}\s{\frac{i+1}{2^{k-1}}}$, $i=0,1,2,\dots,2^{k-1}-1$ ja $f_k$ on lineaarne
lõikudel $\left[\frac j{2^k},\frac{j+1}{2^k}\right]$, $j=0,1,2,\dots,2^k-1$.
\end{enumerate}
\dots

Näidake:
\begin{enumerate}
\item Iga $k\in\N$ korral on funktsioon $f_k$ pidev ja rangelt kasvav lõigul $[0,1]$.
\item Iga $x\in[0,1]$ korral on jada $(f_n(x))$ kasvav ning koondub ühtlaselt funktsiooniks
$f(x)$. Funktsioon $f$ on pidev ja rangelt kasvav.
\item Peaaegu kõigi $x\in[0,1]$ korral $f'(x)=0$.
\end{enumerate}

\item Kui $f$ on reaalfunktsioon lõigul $[0,1]$ ja $\gamma(t)=t+ i f(t)$, on definitsiooni kohaselt 
funktsiooni $f$ graafiku pikkus võrdne kompleksfunktsiooni $\gamma$ täisvariatsiooniga lõigul $[0,1]$.
\begin{enumerate}
\item Näidake, et graafiku pikkus on lõplik parajasti siis, kui $f\in\mathrm{BV}$ (see tähendab, kui 
$f$ on tõkestatud täisvariatsiooniga).
\item Kui $f(0)=0$ ning $f$ on pidev mittekahanev funktsioon, $f_s$ on tema singulaarne osa,
näidake, et graafiku pikkus võrdub $f_s(1)+\int_0^1\sqrt{1+f'(t)^2}\,dt$.
\item Kui pikk on ülesandes 125 funktsiooni $f$ graafik?
\end{enumerate}
\item Olgu $X=\mathrm{NBV}$ ruum kõigist normaliseeritud kompleksfunktsioonidest tõkestatud täisvariatsiooniga
ruumil $\R$.
\begin{enumerate}
\item Veenduge, et ruumil $X$ täisvariatsioon $V(f)$ ($f\in X$) defineerib normi. Näidake, et kõik funktsioonid
ruumist $X$ on tõkestatud, et hariliku supreemumnormi kohta kehtib $\n{f}\leq V(f)$ kõigi $f\in X$ jaoks
ning
et ruum $X$ on normi $V$ suhtes Banachi ruum.
\item Näidake, et kirjutisega $(Pf)(x)=\int_{-\infty}^x f'(t)\,dt$ ($x\in \R$, $f\in X$)
on ruumil $X$ defineeritud lineaarne operaator, mis on samal ajal idempotentne, see tähendab $P^2=P$,
seega projektor. Leidke tema tuum ja väärtuste piirkond.
\item Veenduge, et punktist (b) pärit projektor $P$ on tõkestatud ja tema norm on $1$.
Lisaks veenduge, et iga funktsiooni $f\in X$ korral kehtib
\[
V\s{Pf}\leq\int_\R\a{f'(t)}\,dt\leq V(f)
\]
ning absoluutselt pideva funktsiooni $f$ korral kehtivad võrdused.
\end{enumerate}

\item Vaatleme vektorruumi $X=\h{f\,:\,f:[0,1]\to\R,\,f(0)=0,\,\textrm{$f$ on absoluutselt pidev}}$.
Kuna iga funktsioon ruumist $X$ on peaaegu kõikjal diferentseeruv ning tema tuletis on ruumis $L_1(0,1)$,
defineerime
\[
\n{f}=\n{f}_1+\n{f'}_1=\int_0^1\s{\a{f(t)}+\a{f'(t)}}\,dt
\]
($f\in X$). Veenduge, et sellega on sisse toodud ruumile $X$ norm. Olgu $(f_n)$ suvaline Cauchy jada
ruumi $X$ elementidest. Näidake, et sel juhul on $(f_n)$ ja $(f_n')$ Cauchy jadad ruumis $L_1(0,1)$
piirväärtustega $f$ ja $g$ ning et kehtib $f(s)=\int_0^sg(t)\,dt$ peaaegu kõikide $s\in[0,1]$ jaoks.
Lõpuks tõestage, et $X$ on valitud normi suhtes Banachi ruum.
\end{enumerate}








\chapter{Lahendused}
\small
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item $U$ neelavuseks on vaja näidata, et iga $q\in X$ korral leidub $\delta>0$, et $|\mu|\leq\delta \Rightarrow
\mu q\in U$. Kui $q=0$, siis sobib iga $\delta$. Kui $q\ne0$, $q(z)=\sum_{k=0}^n a_kz^k$, siis valime $\delta=\s{\max_{0\leq k\leq n}\a{a_k}}^{-1}$. Kui nüüd $|\mu|\leq\delta$, siis $\mu q$ iga kordaja $\mu a_k$ jaoks
kehtib $|\mu a_k|\leq \delta|a_k|\leq1$, seega $\mu q\in U$.

$U$ tasakaalus olekuks on vaja näidata, et mistahes $\mu$, $\a{\mu}\leq1$, korral $\mu U\subset U$. Olgu
$\mu q\in \mu U$, kus $q\in U$, $q(z)=\sum_{k=0}^n a_kz^k$. Siis $\mu q$ iga kordaja $\mu a_k$ rahuldab
$\a{\mu a_k}\leq\a{a_k}\leq1$, mistõttu $\mu q\in U$, niisiis $\mu U\subset U$.

Näitame, et $U$ on kumer. 
Valime kaks polünoomi $p,q\in U$ ning arvud $\lambda,\mu\in(0,1)$ nii, et $\lambda+\mu=1$. Võime tähistada
$n=\max\h{\deg p,\deg q}$ ning kirjutada $p(t)=\sum_{k=0}^n a_kz^k$, $q(z)=\sum_{k=0}^n b_kz^k$. Nüüd
$\lambda p+\mu q$ iga kordaja jaoks kehtib hinnang
$
\a{\lambda a_k+\mu b_k}\leq \lambda\a{a_k}+\mu\a{b_k}\leq\lambda+\mu=1
$, mistõttu $\lambda p+\mu q\in U$ ja seega $U$ on kumer.

Näitame, et $p_U\s{\sum_{k=0}^n a_kz^k}=\max_{0\leq k\leq n}|a_k|$. Olgu $q(z)=\sum_{k=0}^n a_kz^k$ fikseeritud.
Kui $\mu>0$ on selline arv, et $q\in \mu U$, siis $|a_k|\leq \mu$, mistõttu ka $\max_{0\leq k\leq n}|a_k|\leq \mu$.
Teiselt poolt, $q\notin \s{\max_{0\leq k\leq n}|a_k|-\varepsilon}U$ ükskõik millise $\varepsilon>0$ korral. Neist kahest asjaolust järeldub, et $\min\h{\mu>0\,:\,q\in \mu U}=\max_{0\leq k\leq n}|a_k|$ ja seega
$p_U\s{q}=\max_{0\leq k\leq n}|a_k|$.

Kuna $U$ on neelav ja tasakaalus, on $p_U$ poolnorm. Veendumaks, et $p_U$ on norm, tarvitseb kontrollida, et
$p_U(q)=0\Rightarrow q=0$, see tähendab, polünoomi $q(z)=\sum_{k=0}^n a_kz^k$ korral
$\max_{0\leq k\leq n}|a_k|=0\Rightarrow q=0$. Ent see on ilmne.

\item $V$ neelavuseks on vaja näidata, et iga $q\in X$ korral leidub $\delta>0$, et $|\mu|\leq\delta \Rightarrow
\mu q\in V$. Kui $\sup_{z\in M}\a{q(z)}=0$, siis sobib iga $\delta$. Kui $\sup_{z\in M}\a{q(z)}>0$, siis valime $\delta=\s{\sup_{z\in M}\a{q(z)}}^{-1}$. Kui nüüd $|\mu|\leq\delta$, siis 
$\sup_{z\in M}\a{\mu q(z)}=|\mu|\sup_{z\in M}\a{q(z)}\leq \delta \sup_{z\in M}\a{q(z)}=1$, seega
$\mu q\in U$.

$V$ tasakaalus olekuks on vaja näidata, et mistahes $\mu$, $\a{\mu}\leq1$, korral $\mu V\subset V$. Olgu
$\mu q\in \mu V$, kus $q\in V$. Siis
$\sup_{z\in M}\a{\mu q(z)}=\a{\mu}\sup_{z\in M}\a{\mu q(z)}\leq1$, mistõttu $\mu q\in V$, niisiis $\mu V\subset V$.

Näitame, et $V$ on kumer. 
Valime kaks polünoomi $p,q\in V$ ning arvud $\lambda,\mu\in(0,1)$ nii, et $\lambda+\mu=1$. Nüüd
$\sup_{z\in M}\a{\s{\lambda p+\mu q}\s{z}}\leq
\sup_{z\in M}\s{\lambda \a{p(z)}+\mu \a{q\s{z}}}\leq
\lambda \sup_{z\in M}\a{p(z)}+\mu \sup_{z\in M}\a{q\s{z}}\leq \lambda+\mu=1$,
mistõttu $\lambda p+\mu q\in V$ ja seega $V$ on kumer.

Näitame, et $p_V(q)=\sup_{z\in M}\a{q(z)}$.
Kui $\mu>0$ on selline arv, et $q\in \mu V$, siis $\sup_{z\in M}\a{q(z)}\leq \mu$.
Teiselt poolt, fikseerime $\varepsilon>0$, siis leidub $z\in M$ nii, et $|q(z)|>\sup_{z\in M}\a{q(z)}-\varepsilon$,
millest järeldub, et $q\notin \s{\sup_{z\in M}\a{q(z)}-\varepsilon}V$. Neist kahest asjaolust järeldub, et $\min\h{\mu>0\,:\,q\in \mu V}=\sup_{z\in M}\a{q(z)}$ ja seega
$p_V\s{q}=\sup_{z\in M}\a{q(z)}$.

Kuna $V$ on neelav ja tasakaalus, on $p_V$ poolnorm. Veendume, et $p_V$ on norm parajasti siis, kui $M$ on lõpmatu
hulk. 

Olgu $M$ lõplik mittetühi hulk, $M=\{z_1,\dots,z_n\}$. Tähistame 
$q(z)=\prod_{k=1}^n\s{z-z_k}$, siis $q(z_k)=0$ iga $1\leq k\leq n$ korral. Seega
$p_V(q)=\sup_{z\in M}|q(z)|=0$, aga $q\ne0$, seega $p_V$ ei ole norm.

Olgu $M$ lõpmatu hulk. Et igal nullist erineval 
polünoomil $q\in X$ on täpselt $\deg q$ (lõplik arv) nullkohta, siis iga
nullist erineva $q\in X$ korral leidub $z\in M$ selliselt, et $q(z)\ne0$, st. $|q(z)|>0$. Järelikult
kui $q\ne0$, siis
$p_V(q)=\sup_{z\in M}|q(z)|>0$.
\end{enumerate}
\item Tähistame koordinaatide alguspunkti $O(0,0)$.
Leiame antud punkti $A(x_0,y_0)$ korral alumise raja arvudest $\mu>0$, kus $(x_0,y_0)\in \mu M$.
\begin{enumerate}
\item Kui $y_0=2x_0$, siis mistahes arvu $\mu>0$ korral $2x_0-\frac1\mu\leq y_0<2x_0+\frac1\mu$, see tähendab,
$2\s{\mu x_0}-1\leq \mu y_0<2\s{\mu x_0}+1$ ja järelikult
$A\in \mu M$. Niisiis juhul $y_0=2x_0$ kehtib $p_M(x_0,y_0)=0$.

Juhul $y_0>2x_0$ olgu $B(x_1,y_1)$ sirge $y=2x+1$ ja $OA$ lõikepunkt; juhul $y_0<2x_0$ olgu $B(x_1,y_1)$
sirge $y=2x-1$ ja $OA$ lõikepunkt. Pärast arvutamist saame, et igal juhul $B=\a{2x_0-y_0}^{-1}A$. Otsitav Minkowski funktsionaali
väärtus on seega $\frac{\a{AO}}{\a{BO}}=|2x_0-y_0|$. 

Kokkuvõttes $p_M(x,y)=|2x-y|$.

\item Olgu $B(x_1,y_1)$ antud ringi $(x-1)^2+y^2=2$ ja sirge $OA$ lõikepunkt, mis asub $O$ ja $A$ vahel.
Sirge $OA$ on võrrandiga $y_0x-x_0y=0$.
Kui $x_0=0$, on võimalik vahetult näha, et
$x_1=0$ ja $y_1^2=1$, mistõttu $|BO|=1$ ja otsitav funktsionaali väärtus tuleb $\frac{|AO|}{|BO|}=|y_0|$.
Kui $x_0\ne0$, siis tähistame $k=\frac{y_0}{x_0}$ ning saame arvu $x_1$ määramiseks ruutvõrrandi
$(1+k^2)x^2-2 x-1=0$.
Järelikult $\a{BO}=\sqrt{x_1^2+y_1^2}=\sqrt{k^2+1}|x_1|=\frac{1+\sqrt{k^2+2}}{\sqrt{k^2+1}}$ ning
otsitav funktsionaali väärtus tuleb $\frac{\a{AO}}{\a{BO}}=\frac{|x_0|\s{k^2+1}}{\sqrt{k^2+2}+1}=
|x_0|\s{\sqrt{k^2+2}-1}=\sqrt{2x_0^2+y_0^2}-|x_0|$.

Kokkuvõttes $p_M(x,y)=\sqrt{2x^2+y^2}-|x|$.

\item Olgu $B(x_1,y_1)$ hulga $M$ rajajoone $\h{(x,y)\,:\,\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}=1}$ ja sirge $OA$ lõikepunkt, mis
asub $O$ ja $A$ vahel. Samuti nagu eelmises punktis, kui $x_0=0$, siis $x_1=0$ ning seega
$|y_1|=1$. Järelikult $\frac{\a{AO}}{\a{BO}}=|y_0|$. Kui $x_0\ne0$, siis tähistame $k=\frac{y_0}{x_0}$
ja tuletame seose $|x_1|=\s{1+\sqrt{\a{k}}}^{-2}$. Niisiis $\a{BO}=\sqrt{x_1^2+y_1^2}=\sqrt{1+k^2}|x_1|=
\frac{\sqrt{1+k^2}}{\s{1+\sqrt{\a{k}}}^2}$ ja järelikult funktsionaali väärtus
$\frac{\a{AO}}{\a{BO}}=\frac{|x_0|\sqrt{1+k^2}\s{1+\sqrt{\a{k}}}^2}{\sqrt{1+k^2}}=\s{\sqrt{|x_0|}+\sqrt{|y_0|}}^2$.

Kokkuvõttes $p_M(x,y)=\s{\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}}^2$.

\item Olgu $B(x_1,y_1)$ hulga $M$ rajajoone $\h{(x,y)\,:\,\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ ja sirge
$OA$ lõikepunkt, mis asub $O$ ja $A$ vahel. Samuti nagu eelmises punktis, kui $x_0=0$, siis
$x_1=0$ ning seega $|y_1|=|b|$. Järelikult $\frac{\a{AO}}{\a{BO}}=\frac{|y_0|}{|b|}$.
Kui $x_0\ne0$, siis tähistame $k=\frac{y_0}{x_0}$ ja avaldame $x_1^2=\s{\frac1{a^2}+\frac{k^2}{b^2}}^{-1}$,
millest leiame funktsionaali väärtuse
$\frac{\a{AO}}{\a{BO}}=\frac{|x_0|\sqrt{1+k^2}\sqrt{\frac1{a^2}+\frac{k^2}{b^2}}}{\sqrt{1+k^2}}=
\sqrt{\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}}$.

Kokkuvõttes $p_M(x,y)=\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}$.
\end{enumerate}
\item Kuna $f$ on lineaarne, siis $f(x,y)=xf(1,0)+yf(0,1)$. Seega jätkamiseks kogu ruumile $X$ piisab määrata $f(0,1)$ võimalikud väärtused. Tähistame $a=f(1,0)$ ja $b=f(0,1)$.
\begin{enumerate}
\item Me saame $|a+b|=|f(1,1)|\leq |1-1|=0$, millest järeldub, et $b=-a$ ja jätk on üheselt määratud.
Tõepoolest, nüüd $f(x,y)=f(x,0)-f(y,0)=f(x-y,0)$ ja $|f(x,y)|=|f(x-y,0)|\leq |x-y|$.
\item Me saame sõltuvalt $a$ ja $b$ märgist, et $|a|+|b|=\a{a\pm b}\leq 1$. Järelikult 
$|b|\leq 1-|a|$. Teiselt poolt, kui $b$ on selline, et $|b|\leq 1-|a|$, siis
$|f(x,y)|\leq|a||x|+|b||y|\leq\s{|a|+|b|}\max\h{|x|,|y|}\leq\max\h{|x|,|y|}$. Niisiis määrab tingimus
$|b|\leq 1-|a|$ parajasti kõik jätkud.
\item Me saame antud nõudest $|f(x,y)|\leq |x|+|y|$, et $|b|\leq1$. Teiselt poolt, kui $|b|\leq1$, siis
$|f(x,y)|\leq |x|+|b||y|\leq |x|+|y|$. Niisiis määrab tingimus $|b|\leq1$ parajasti kõik jätkud.
\item Me saame, et $\a{a^2+b^2}=|f(a,b)|\leq\sqrt{a^2+b^2}$, millest $a^2+b^2\leq1$. Teiselt poolt, kui
$a^2+b^2\leq1$, siis Cauchy võrratuse abil
$\a{f(x,y)}=\a{ax+by}\leq\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{x^2+y^2}\leq\sqrt{x^2+y^2}$. Niisiis määrab tingimus
$a^2+b^2\leq1$ parajasti kõik jätkud.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Võrdus $p(0,0)=0$ kehtib ilmselt. Homogeensus: $p(\mu x,\mu y)=|\mu x|=|\mu||x|=|\mu|p(x,y)$.
Kolmnurga võrratus: $p(x_1+x_2,y_1+y_2)=|x_1+x_2|\leq|x_1|+|x_2|=p(x_1,y_1)+p(x_2,y_2)$. Järelikult
on $p$ poolnorm.
\item Kinniste nulliümbruste baas topoloogias $\tau$ koosneb hulkadest kujul
$\h{(x,y)\,:\,|x|\leq\varepsilon}$, kus $\varepsilon>0$. See ei lange kokku loomuliku topoloogiaga,
sest näiteks $[0,1]\times(0,1)$ on topoloogias $\tau$ kinnine, aga loomulikus topoloogias pole ei lahtine
ega kinnine.
\item Näitame, et $f$ ei vii mistahes koonduvat jada koonduvaks jadaks. Valime topoloogias $\tau$
koonduva jada $(x_n)$, $x_n=(0,n)$. See jada koondub näiteks elemendiks $x_0=(0,0)$, sest $p(x_n-x_0)=0$.
Ent $f(x_n)=n$ ja jada $(f(x_n))=(1,2,3,\dots)$ hajub (ruumi $\R$ loomulikus topoloogias). Järelikult
ei ole $f$ pidev topoloogias $\tau$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $p_n(0)=0$ on ilmne. Kui polünoomi $q$ korrutada arvuga $\mu$, korrutuvad kõik kordajad arvuga
$\mu$. Seega $p_n(\mu q)=|\mu c_n(q)|=|\mu|p_n(q)$. Lõpuks, $p_n(q_1+q_2)=|c_n(q_1+q_2)|=
|c_n(q_1)+c_n(q_2)|\leq |c_n(q_1)|+|c_n(q_2)|=p_n(q_1)+p_n(q_2)$. Järelikult on $p_n$ poolnorm,
$n=0,1,2,\dots$

Eralduvus on samaväärne sellega, et mistahes $q\ne0$ korral leidub poolnorm $p_n$ selliselt, et
$p_n(q)\ne0$. See on aga selge: kui $q\ne0$, on mingi, ütleme $m$-nes, kordaja polünoomil $q$ nullist erinev.
Nüüd $p_m(q)\ne0$.

\item Tähistame $X_n=\h{q\in X\,:\,\deg q\leq n}$. 
On ilmne, et $X=\bigcup_{n=0}^\infty X_n$. Näitame, et iga $X_n$ on eikusagil tihe hulk.

Kõigepealt veendume, et $X_n$ on kinnine ruumis $X$.
Kui $(q_\alpha)$ on koonduv pere, $q_\alpha\to q_0$,
kusjuures $(q_\alpha)\subset X_n$, siis iga $k$ korral $p_k(q_\alpha-q_0)\to0$. Kui $k>n$, siis
$|p_k(q_0)|=|p_k(q_\alpha)-p_k(q_0)|\leq p_k(q_\alpha-q_0)\to0$, mis tähendab, et $\deg q_0\leq n$, seega
$q_0\in X_n$ ja järelikult $X_n$ on kinnine. 

Niisiis $\overline{X_n}=X_n$ ja seega piisab näidata,
et $X_n^\circ=\emptyset$. Oletame vastuväiteliselt, et $X_n^\circ\ne\emptyset$. Olgu siis
$q_0\in X$, $\deg q_0\leq n$, selline polünoom, et leidub baasiümbrus $U$ nõudega
$q_0\in U\subset X_n$. Poolnormide süsteemi abil määratud topoloogilise vektorruumi
 nulliümbruste baasi kuju kasutades
leidub arv $\varepsilon>0$ ja indeksid $n_1,n_2,\dots,n_k$ selliselt, et
$U=\h{q\in X\,:\,\max_{1\leq j\leq k} p_{n_j}(q-q_0)\leq\varepsilon}$. Valime
$m>\max\h{n,n_1,n_2,\dots,n_k}$, siis polünoom $q(z)=z^m+q_0(z)\in U$, aga $q(z)\notin X_n$ (kuna $\deg q>n$), mis on vastuolu.
Järelikult polünoomi $q_0$ ei leidu ja kehtib $X_n^\circ=\emptyset$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $p_n(0)=0$. $p_n(\mu x)=\sum_{k=1}^n|\mu x_k|=|\mu|p_n(x)$.
$p_n(x+y)=\sum_{k=1}^n|x_k+y_k|\leq\sum_{k=1}^n|x_k|+\sum_{k=1}^n|y_k|=p_n(x)+p_n(y)$.

Eralduvuseks veendume, et kui $x\ne0$, siis leidub poolnorm $p_n$, et $p_n(x)\ne0$. Kui
$x\ne0$, siis $x_n\ne0$ mingi $n$ korral. Nüüd $p_n(x)=\sum_{k=1}^n|x_k|\geq |x_n|>0$. Seega poolnormide
süsteem eraldab punktid.

\item Me saame, et $p(x)=\sup_{n\geq1}p_n(x)=\lim_{n\to\infty}p_n(x)=\sum_{k=1}^\infty |x_k|$.
Normi aksioomid: $x=0\Leftrightarrow \forall n\,|x_n|=0\Leftrightarrow
p(x)=0$. 
$p(\mu x)=\sum_{k=1}^\infty |\mu x_k|=|\mu|p(x)$, 
$p(x+y)=\sum_{k=1}^\infty|x_n+y_n|\leq\sum_{k=1}^\infty|x_n|+\sum_{k=1}^\infty|y_n|=p(x)+p(y)$.

Näitame, et kui pere koondub $p$-topoloogias, siis ta koondub ka $\h{p_n}$-topoloogias, ning leiame näite,
kus vastupidine ei kehti.

Koondugu pere $(x^\alpha)\subset X$ $p$-topoloogias elemendiks $x^0$, st.
$p(x^\alpha-x^0)\to0$ indeksi $\alpha$ järgi. Järelikult
$p_n(x^\alpha-x^0)\leq p(x^\alpha-x^0)\to0$ iga $n$ korral, mis tähendab, et pere $(x^\alpha)$ koondub
$\h{p_n}$-topoloogias. 

Valime $x^m=(\underbrace{0,\dots,0}_{m-1},1,0,0,\dots)$. Nüüd $p_n(x^m)=0$, kui $m>n$, seega $p_n(x^m)\to0$
iga $n$ korral. Järelikult $x^m\to 0$ $\h{p_n}$-topoloogias. Ent
$p(x^m-0)=\sum_{n=1}^\infty |x^m_n|=1$, mis tähendab, et pere $(x^m)$ ei koondu $p$-topoloogias.

\item Valime koonduva jada $(x^m)$, $p(x^m-x^0)\to0$, ruumis $(X,p)$ suvaliselt ning veendume, et
ka $f(x^m)\to f(x^0)$. See tähendab, arvutame $\a{f(x^m)-f(x^0)}=
\a{\sum_{k=1}^\infty x^m_k-\sum_{k=1}^\infty x^0_k}=\a{\sum_{k=1}^\infty\s{x^m_k-x^0_k}}\leq
\sum_{k=1}^\infty\a{x^m_k-x^0_k}=p(x^m-x^0)\to0$. Järelikult $f$ on pidev ruumis $(X,p)$.

Näitame, et $f$ ei ole pidev ruumis $(X,\h{p_n})$. Valime selleks eelmisest punktist tuttava
jada $x^m$. Siis $f(x^m)=1$, aga $f(0)=0$, mis tähendab, et $f(x^m)$ ei koondu arvuks $f(0)$, kuigi
$x^m\to0$ $\h{p_n}$-topoloogias. Oleme näidanud, et $f$ ei ole pidev ruumis $(X,\h{p_n})$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item On selge, et $p_0$ on poolnorm. Ka $p$ on poolnorm, sest $p(0)=V(0)=0$, $p(\mu f)=|\mu|p(f)$ järeldub 
supreemumi homogeensusest ja $p(f+g)=p(f)+p(g)$ järeldub sellest, et kui $n\in\N$ ning
$a\leq x_0<x_1<\dots<x_n\leq b$, siis 
$\a{f(x_k)-f(x_{k-1})+g(x_k)-g(x_{k-1}}\leq\a{f(x_k)-f(x_{k-1}}+
\a{g(x_k)-g(x_{k-1}}$ iga $k=1,2,\dots,n$ korral.

Topoloogia on eralduv. Tõepoolest, valime $f\ne0$. Kui $f(a)\ne0$, siis $p_0(f)=|f(a)|>0$. Kui aga
$f(a)=0$, siis leidub $x\in(a,b]$ selliselt, et $f(x)\ne0$. Nüüd $0<|f(x)-f(a)|\leq V(f)=p(f)$.
Seega iga $f\ne0$ korral $p_0(f)\ne0$ või $p(f)\ne0$.

\item Eralduv lokaalselt kumer ruum on normeeruv parajasti siis, kui tal on tõkestatud nulliümbrus.
Hulk on tõkestatud parajasti siis, kui iga poolnorm on sellel hulgal tõkestatud. Valime siis
$U=\h{f\in X\,:\,p_0(f)\leq 1,\,p(f)\leq 1}$.

Normi $\n{\cdot}$ poolt genereeritud topoloogia langeb kokku $\h{p_0,p}$-topoloogiaga parajasti siis,
kui mistahes pere koondub normis $\n{\cdot}$ ja (korraga) $p_0$ ja $p$ suhtes samaaegselt.
Selline norm on näiteks $\n{f}=p_0(f)+p(f)$.

\item Tähistame $\n{f}_\infty=\sup_{x\in[a,b]}\a{f(x)}$. Siis
$\n{f}_\infty\leq \a{f(a)}+\sup_{x\in[a,b]}\a{f(x)-f(a)}\leq p_0(f)+p(f)$.
Järelikult on $\n{f}_\infty$ iga $f\in X$ korral korrektselt defineeritud (reaalarv)
ning vahetult on kontrollitav,
et $\n{\cdot}_\infty$ rahuldab normi aksioome.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Vahetult on kontrollitav, et $p_t$ on poolnorm iga $t\in T$ korral. Fikseerime $f\ne0$, see
tähendab, leidub $t\in T$ selliselt, et $f(t)\ne0$. Nüüd $p_t(f)=|f(t)|>0$. Järelikult
poolnormide süsteem $\h{p_t}$ eraldab punktid ja selle süsteemi poolt indutseeritud topoloogia on eraldav.
\item Korrutistopoloogia on selline topoloogia, kus kõik projektsioonid on pidevad.
Konkreetsel juhul projektsioon $\Pi_t(f)=f(t)$. Seega ülesande väide on: näidata, et $|f(t)|$ on
pidev parajasti siis, kui $f(t)$ on pidev. See on aga hästi tuntud.
\item Fikseerime $f,g\in Y_S$ ning $\xi\in\R$. Siis
$(f+\xi g)(S)=f(S)+\xi g(S)=0$, mistõttu $f+\xi g\in Y_S$ ja järelikult $Y_S$ on vektoralamruum ruumis $X$.
Näitame $Y_S$ kinnisuse ruumis $X$.
Koondugu pere $(f_\alpha)\subset Y_S$ ruumi $X$ topoloogias elemendiks $f_0\in X$, see tähendab,
$|f_\alpha(t)-f_0(t)|=p_t(f_\alpha-f_0)\to0$ iga $t\in T$ korral, kusjuures $f_\alpha(S)=0$ iga $\alpha$ korral.
Näeme, et $f_0(S)=0$, kuna iga $s\in S$ korral $|f_0(s)|=|f_\alpha(s)-f_0(s)|\to0$, st. $f_0(s)=0$. Järelikult on
$Y_S$ kinnine alamruum ruumis $X$.

\item Olgu $T$ mitteloenduv. Näitame, et ükski nulliümbrus pole tõkestatud. Olgu $U$ nulliümbrus ümbruste baasist,
siis ta on defineeritud poolnormide $p_{t_1},\dots,p_{t_n}$ poolt. Valime nüüd $t_0$ nii, et $t_0\ne t_i$, $i=1,\dots,n$. Siis $U$ pole tõkestatud $p_{t_0}$ suhtes, kuna $U$ pole neelatav $\h{f\in X\,:\,p_{t_0}(f)\leq1}$
poolt. (Nimelt sisaldab $U$ funktsioone, mis omandavad punktil $t_0$ kuitahes suuri väärtusi.)
Kuna eralduv lokaalselt kumer ruum on normeeruv parajasti siis, kui temas leidub tõkestatud nulliümbrus,
ei ole $X$ normeeruv. (Selleks piisanuks juba sellest, et $T$ on lõpmatu hulk.)

Olgu $\h{U_\alpha\,:\,\alpha\in\mathfrak{A}}$ nulliümbruste baas ruumis $X$. Iga ümbrus $U_\alpha$ saab olla
tõkestatud üksnes lõpliku arvu poolnormide suhtes, kuna ta sisaldab mingit ümbrust lokaalselt kumerat ruumi defineerivate nulliümbruste baasist kujul $\h{f\in X\,:\,\max_{1\leq k\leq n}p_{t_k}(f)\leq \varepsilon}$.
Teisest küljest, iga poolnormi $p_t$ jaoks peab leiduma ümbruste baasis $\h{U_\alpha}$ nulliümbrus, mis on 
tõkestatud $p_t$ suhtes, kuna iga $\h{f\in X\,:\,p_t(f)\leq\varepsilon}$ sisaldab endas mingit ümbrust $U_\alpha$.
Siit järeldub, et $\a{\bigsqcup_{\substack{S\textrm{ lõplik}\\ S\subset T}} S}\leq|\mathfrak{A}|\leq |T|$. Niisiis
on $\mathfrak{A}$ mitteloenduv, mistõttu $X$ pole metriseeruv.
\end{enumerate}

\item 
Meetrika saamiseks piisab punktidest (i) kuni (iii). Tingimus (i) tagab idempotentsuse täidetuse.
Sümmeetria: $d(x,y)=q(x-y)=q((-1)(y-x))\leq q(y-x)=d(y,x)$, vahetades aga $x$ ja $y$, järeldub
siit $d(y,x)\leq d(x,y)$, kokkuvõttes $d(x,y)=d(y,x)$. Kolmnurga võrratus:
$d(x,z)=q(x-z)\leq q(x-y)+q(y-z)=d(x,y)+d(y,z)$. Nihke suhtes invariantsus:
$d(x+z,y+z)=q(x-y)=d(x,y)$.

Liitmise pidevus järeldub võrratusest
$d(x_1+x_2,y_1+y_2)=q(x_1+x_2-y_1-y_2)\leq q(x_1-y_1)+q(x_2-y_2)=d(x_1,y_1)+d(x_2,y_2)$.
Skalaariga korrutamise pidevus järeldub võrratusest
$d(\lambda x,\mu y)=q(\lambda x-\mu y) = q((\lambda-\mu)x-\mu(x-y))\leq q((\lambda-\mu)x)+q(\mu(x-y))\leq
q\s{\frac x n}+q(m(x-y))\leq q\s{\frac x n}+mq(x-y)=q\s{\frac x n}+m d(x,y)$, kus
$|\lambda-\mu|\leq\frac1n$ ning $m$ on selline naturaalarv, et $|\mu|\leq m$.

\item 
\begin{enumerate}
\item On selge, et $q(x,y)\geq0$ ning $q(0,0)=0$. Kui $q(x,y)=0$, siis $\frac{|x|}{1+|x|}=0$ ja $\frac{|y|}{1+|y|}=0$,
seega $x=y=0$.

Kehtib $q(x_1+x_2,y_1+y_2)=\frac{|x_1+x_2|}{1+|x_1+x_2|}+\frac{|y_1+y_2|}{1+|y_1+y_2|}$
ning $q(x_1,y_1)+q(x_2,y_2)=\frac{|x_1|}{1+|x_1|}+\frac{|x_2|}{1+|x_2|}+\frac{|y_1|}{1+|y_1|}
+\frac{|y_2|}{1+|y_2|}$. Saab veenduda, et esimene avaldis pole suurem kui teine, kui
üle kontrollida ainult $\frac{|x_1+x_2|}{1+|x_1+x_2|}\leq \frac{|x_1|}{1+|x_1|}+\frac{|x_2|}{1+|x_2|}$.
See kontroll on aga vahetu.

Olgu $\alpha$ selline, et $|\alpha|\leq1$. Siis $q(\alpha x,\alpha y)=
\frac{|\alpha| |x|}{1+|\alpha| |x|}+\frac{|\alpha| |y|}{1+|\alpha| |y|}$. Jälle
veendume, et $\frac{|\alpha| |x|}{1+|\alpha| |x|}\leq \frac{|x|}{1+|x|}$.

Me saame
$\lim_{n\to\infty}q\s{\frac xn,\frac yn}=\lim_{n\to\infty}\frac{ |x|}{n+|x|}+\frac{|y|}{n+|y|}=0$.

Kokkuvõttes on $q$ pseudonorm. $q$-topoloogia on tugevam, kuna
$q(x,y)\leq |x|+|y|$. Sealjuures ka $\frac12 \s{|x|+|y|}\leq q(x,y)$, kuid ainult juhul, kui $|x|,|y|\leq1$.

\item Näitame, et kui $r\geq 2$, siis on antud hulk kumer. Mistahes $(x,y)$ korral
$q(x,y)=2-\frac1{1+|x|}-\frac1{1+|y|}<2$, mis tähendab, et juhul $r\geq 2$ kehtib $\h{(x,y)\,:\,q(x,y)<r}=X$, mis
on igasuguste lineaarkombinatsioonide suhtes kinnine.

Olgu $r<2$. Valime $(x_1,y_1)=\s{\frac{2r}{2-r},0}$ ja $(x_2,y_2)=\s{0,\frac{2r}{2-r}}$, siis
$q(x_1,y_1)=q(x_2,y_2)=\frac{r}{1+r}<r$, seega
$(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\h{(x,y)\,:\,q(x,y)<r}$. Ent 
$q\s{\frac12(x_1,y_1)+\frac12(x_2,y_2)}=q\s{\frac r{2-r},\frac r{2-r}}=r$. Järelikult sel juhul
ei ole antud hulk kumer.

Kuna kinnine kera $B(0,r)=\h{(x,y)\,:\,q(x,y)\leq r}\supset \h{(x,y)\,:\,q(x,y)<r}$, siis antud
hulk sisaldub alati mingis kinnises keras ja on seega tõkestatud.

\item ???
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Veendume, et iga $p_n$ on poolnorm. $p_n(0)=0$ on ilmne.
Homogeensus: $p_n(\mu f)=\max\h{|\mu f(t)|\,:\,|t|\leq n}=|\mu| p_n(f)$.
Kolmnurga võrratus: $p_n(f+g)=\max\h{|f(t)+g(t)|\,:\,|t|\leq n}\leq \max\h{|f(t)|+|g(t)|\,:\,|t|\leq n}\leq
p_n(f)+p_n(g)$.

Veendume, et $q$ on pseudonorm. $q(f)\geq0$ on selge, kuna kõik liidetavad on mittenegatiivsed
ning rida koondub, kuna ükski liidetav ei ületa $2^{-n}$. Kui $q(f)=0$, on kõik liidetavad võrdsed nulliga,
seega iga $p_n(f)=0$, mis tähendab, et $f$ on null kuitahes suure absoluutväärtusega argumentidel, see
tähendab, samaselt null.
Kolmnurga võrratus järeldub võrratusest $\frac{p_n(f+g)}{1+p_n(f+g)}\leq\frac{p_n(f)}{1+p_n(f)}+
\frac{p_n(g)}{1+p_n(g)}$.
Olgu $\alpha$ selline, et $|\alpha|\leq1$, siis võrratus $q(\alpha x)\leq q(x)$ järeldub sellest, et
$\frac{p_n(\alpha f)}{1+p_n(\alpha f)}\leq \frac{p_n(f)}{1+p_n(f)}$.
Lõpuks, $q\s{\frac fm}=\sum_{n=1}^\infty2^{-n}\frac{p_n(f)}{m+p_n(f)}$. Kuna rida koondub (Weierstrassi
tunnuse põhjal) ühtlaselt,
võib piirile $m\to\infty$ minna liikmeti, sel korral aga saame nullidest koosneva rea, mistõttu
$\lim_{m\to\infty}q\s{\frac fm}=0$.

Valime pere $(f_\alpha)\subset C(\R)$. Veendume, et see pere koondub mõlemas topoloogias samaaegselt.

Kehtigu $q(f_\alpha-f_0)\to0$ mingi $f_0\in C(\R)$ korral, siis suvalise $n\in\N$ korral
$1-\frac1{1+p_n(f_\alpha-f_0)}\leq 2^n q(f_\alpha-f_0)\to0$. Järelikult $\frac1{1+p_n(f_\alpha-f_0)}\to1$
ehk $p_n(f_\alpha-f_0)\to0$. Seega pere koonduvusest $q$-topoloogias
järeldub selle koondumine $\h{p_n}$-topoloogias.

Kehtigu nüüd kõigi naturaalarvude $n$ korral $p_n(f_\alpha-f_0)\to0$. Siis analoogiliselt ülaltehtuga
$\frac{p_n(f_\alpha-f_0)}{1+p_n(f_\alpha-f_0)}=1-\frac1{1+p_n(f_\alpha-f_0)}\to0$. Kuna $q(f_\alpha-f_0)$ koondub
ühtlaselt (Weierstrassi tunnus), siis võime arvutada
$\lim_\alpha q(f_\alpha-f_0)=\lim_\alpha \sum_{n=1}^\infty 2^{-n}\frac{p_n(f_\alpha-f_0)}{1+p_n(f_\alpha-f_0)}=
\sum_{n=1}^\infty\lim_\alpha2^{-n}\frac{p_n(f_\alpha-f_0)}{1+p_n(f_\alpha-f_0)}=\sum_{n=1}^\infty0=0$.
Seega pere koondumisest $\h{p_n}$-topoloogias järeldub selle koondumine $q$-topoloogias.

Koondugu nüüd pere $(f_\alpha)\subset C(\R)$ funktsiooniks $f_0$. Veendume, et ta koondub ruumi $\R$ kõigil
kompaktsetel hulkadel ühtlaselt, see tähendab kõigil kinnistel tõkestatud hulkadel ühtlaselt.
Olgu $U$ kinnine tõkestatud hulk, siis ta sisaldub keras keskpunktiga $0$ ja raadiusega $n$, kus
$n$ on mingi naturaalarv. Nüüd $\sup_{t\in U}\a{f_\alpha(t)-f_0(t)}\leq \sup_{|t|\leq n}\a{f_\alpha(t)-f_0(t)}=
p_n(f_\alpha-f_0)\to0$.
Teistpidi, kui $f_\alpha$ koondub ruumi $\R$ kõigil kompaktsetel hulkadel ühtlaselt funktsiooniks
$f_0$, siis ta muidugi koondub ühtlaselt ka kinnistel keradel $B(0,n)$, mistõttu $p_n(f_\alpha-f_0)\to0$.

\item Iga poolnormide süsteem antud vektorruumil määrab selles ruumis lokaalselt kumera topoloogia.
Ümbruste baasi hulgad on kujul $\h{f\in C(\R)\,:\,p_n(f)\leq\varepsilon}$. Oletame,
et $U=\h{f\in C(\R)\,:\,p_n(f)\leq\varepsilon}$ on tõkestatud hulk, siis ta peab olema tõkestatud
mistahes poolnormi suhtes. Konstrueerime pideva funktsiooni selliselt, et $f(t)=0$, kui $|t|\leq n$
ning $f(t)=K \s{|t|-n}$, kui $|t|>n$. Siis $f\in U$ ning $p_{n+1}(f)\geq f(n+1)=K$, mis seetõttu, et $K$ on suvaline,
tähendab, et $\sup_{f\in U}p_{n+1}(f)<\infty$ ei kehti. Järelikult ei leidu selles topoloogias tõkestatud
baasiümbrust, mistõttu ruum $C(\R)$ pole normeeruv.

\item Arvutused näitavad, et 
$q(f)=\sum_{n=1}^\infty2^{-n}\cdot\frac12=\frac12$,
$q(g)=\sum_{n=2}^\infty2^{-n}\cdot\frac{100}{101}=\frac{50}{101}$
ning
$q(h)=2^{-1}\cdot\frac13+\sum_{n=2}^\infty 2^{-n}\cdot\frac{50}{51}=\frac16+\frac{25}{51}=\frac{67}{102}$.
Sealjuures $q(f)\leq \frac12$ ja $q(g)\leq 12$ (mis tähendab, et $f$ ja $g$ kuuluvad kinnisesse kerasse
$\overline{B}\s{0,\frac12}$),
aga $q\s{\frac12f+\frac12g}=q(h)>\frac12$. Järelikult ei ole $\overline{B}\s{0,\frac12}$ kumer.
\end{enumerate}

\item

\item 

\item \item \item \item \item \item \item \item \item \item \item 

\item 
\begin{enumerate}
\item 
Veendume, et $p$ on poolnorm antud tingimustel.

Kui $x=0$, siis $x^{\s{m}}=0$ iga $m$ korral. Seega $p(x)=0$.
Olgu nüüd $x\in X$ suvaline ning $\mu$ antud arv, siis $\s{\mu x}^{\s{m}}=\mu x^{\s{m}}$ iga $m$ korral.
Järelikult $p(\mu x)=|\mu|p(x)$. 

Põhjendame kolmnurga võrratuse. Olgu $x,y\in X$, siis $\s{x+y}^{\s{m}}=x^{\s{m}}+y^{\s{m}}$.
Fikseerime arvu $\varepsilon>0$. Siis leiduvad naturaalarvud $M,N$ ja $m_1,\dots,m_M$, $n_1,\dots,n_N$ selliselt,
et $\n{\frac1M\sum_{i=1}^Mx^{\s{m_i}}}<p(x)+\frac\varepsilon2$ ja
$\n{\frac1N\sum_{j=1}^Ny^{\s{n_j}}}<p(y)+\frac\varepsilon2$. Seega
$p(x+y)\leq\n{\frac 1{MN}\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^N \s{x+y}^{\s{m_i+n_j}}}\leq
\n{\frac 1{MN}\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^N x^{\s{m_i+n_j}}}+
\n{\frac 1{MN}\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^N y^{\s{m_i+n_j}}}\leq
\n{\frac 1{MN}\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^N x^{\s{m_i}}}+
\n{\frac 1{MN}\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^N y^{\s{n_j}}}=
\n{\frac 1{M}\sum_{i=1}^M x^{\s{m_i}}}+
\n{\frac 1{N}\sum_{j=1}^N y^{\s{n_j}}}<p(x)+p(y)+\varepsilon$.
Minnes nüüd piirile $\varepsilon\to0$, saame võrratuse $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$.

Kontrollime võrratust $\a{\lim y}\leq p(y)$, kui $y\in c$. Olgu $y\in c$, kusjuures $y_0=\lim y$. Siis
ka $\lim y^{\s{n}}=y_0$ iga $n$ korral, kuivõrd lõplik arv liikmeid ei mõjuta jada koonduvust.
Ent nüüd ka $\lim \frac 1M\sum_{i=1}^M y^{\s{m_i}}=\frac 1M\sum_{i=1}^M \lim y^{\s{m_i}}=y_0$. Järelikult
$\a{\lim y}=\a{\lim \frac 1M\sum_{i=1}^M y^{\s{m_i}}}\leq\n{\frac 1M\sum_{i=1}^M y^{\s{m_i}}}$ ning
võttes vajaliku infiimumi, saame
$\a{\lim y}\leq p(y)$.

Kuna $x^{\s{1}}=x$, siis valime infiimumi definitsioonis $M=m_1=1$ ja saame $p(x)\leq \n{x}$.

\item Kõigepealt on selge, et $f_0(y)=\lim y$ on tõkestatud lineaarne funktsionaal ruumil $c$. Sealjuures
$|f_0(y)|\leq p(y)$. Kasutades Hahn-Banachi teoreemi poolnormide jaoks, leidub funktsionaal $f\in \ell_\infty^*$
selliselt, et $f|_c=f_0$ ja $\a{f(x)}\leq p(x)$ iga $x\in \ell_\infty$ korral.

\item Me saame $f\s{x^{m}-x^{\s{m+1}}}\leq p\s{x^{m}-x^{\s{m+1}}}\leq \frac 1M\n{\s{x_m-x_{m+1},x_{m+1}-x_{m+2},\dots}-
\s{x_{m+1}-x_{m+2},x_{m+2}-x_{m+3},\dots}-\dots \s{x_{2m-1}-x_{2m},x_{2m}-x_{2m+1},\dots}}=
\frac1M\n{\s{x_m-x_{2m},x_{m+1}-x_{2m+1},\dots}}\leq
\frac{2\n{x}}M$, kus $M$ on suvaline naturaalarv. Minnes $M\to\infty$, saame piiril $f\s{x^{\s{m}}}=f\s{x^{\s{m+1}}}$.
Kuna $x=x^{\s{1}}$, siis $f(x)=f\s{x^{\s{m}}}$ iga $m\in\N$ korral.

See, et $\n{f}\leq1$ järeldub asjaolust, et $|f(x)|\leq p(x)\leq \|x\|$. Teiselt poolt, valides jada
$x=(1,1,1,\dots)\in c$, kehtib $\n{f}\geq \a{f(x)}=\a{\lim x}=1$. Kokkuvõttes $\n{f}=1$.

\end{enumerate}

\item

\item
\begin{enumerate}
\item
Tähistame $f_0=1$ (konstantne funktsioon).
Leiame $\n{F}=\sup_{\n{f}\leq1}\a{F(f)}\leq\sup_{\n{f}\leq1}\int_0^1 \a{f(t)}\,dt\leq\sup_{\n{f}\leq1}\n{f}$
ning $\n{F}\geq \a{F(f_0)}=1$. Seega $\n{F}=1$.

Olgu $n\in \N$. Leiame $\n{F_n}=\sup_{\n{f}\leq1}\a{F_n(f)}\leq \sup_{\n{f}\leq1}\frac1n\sum_{k=1}^n\a{f\s{\frac kn}}\leq
\sup_{\n{f}\leq1}\frac1n\sum_{k=1}^n\n{f}=1$ ja
$\n{F_n}\geq \a{F_n(f_0)}=1$. Seega $\n{F_n}=1$.

\item Koonduvus normi mõttes tähendab seda, et
$\sup_{\n{f}\leq 1}\a{F(f)-F_n(f)}=\n{F-F_n}\to0$. Ent iga $n$ korral saab moodustada pideva $f$ selliselt, et
$f\s{\frac kn}=1$, $k=1,\dots,n$, kuid $\int_0^1 f(t)\,dt= \frac12$. Seega $\sup_{\n{f}\leq 1}\a{F(f)-F_n(f)}\geq\frac12$ ja ei koondu nulliks.

\item Fikseerime $f\in C([0,1])$, siis $f$ on lõigul $[0,1]$ ühtlaselt pidev. Fikseerime $\varepsilon>0$,
siis leidub selline $\delta$, et mistahes $x,x'\in[0,1]$ korral
kehtib $|x-x'|<\delta\Rightarrow \a{f(x)-f(x')}<\varepsilon$. Seega
$\a{F_n(f)-F(f)}=\a{\frac1n \sum_{k=1}^nf\s{\frac kn}-\sum_{k=1}^n\int_{\frac{k-1}n}^\frac kn f(t)\,dt}=
\a{\sum_{k=1}^n\int_{\frac{k-1}n}^\frac kn\s{f\s{\frac kn}- f(t)}\,dt}\leq
\sum_{k=1}^n\int_{\frac{k-1}n}^\frac kn\a{f\s{\frac kn}- f(t)}\,dt\leq \varepsilon$
niipea, kui $\frac 1n\leq \delta$ ehk $n\geq\frac1\delta$. Järelikult $F_n(f)\to F(f)$.
\end{enumerate}

\setcounter{enumi}{68}
\item 
\begin{enumerate}
\item Kuna jada $x=(x_n)$ normis $\n{x}^2=\sum_{k=1}^\infty |x_k|^2$ rida koondub absoluutselt,
koondub tema mistahes ümberjärjestus samaks summaks. Seega saame $\n{Ax}^2=\sum_{k=1}^\infty |x_k|^2=\n{x}^2$ 
ja järelikult $\n{A}=1$.

\item Vahetult on näha, et $A^2=I$, seega $A$ on pööratav
ja $A=A^{-1}$. Kaasoperaatori leiame võrdusest $(Ax,y)=(x,A^*y)$. Arvutame:
$(Ax,y)=x_2y_1+x_1y_2+x_4y_3+x_3y_4+\dots=(x,Ay)$, mistõttu $A*=A$ ehk 
$A$ on enesekaasne. Neist kahest väitest järeldub, et $A^{-1}=A^*$ ehk $A$ on unitaarne.

\item Operaatori $A$ spektrisse $\sigma(A)$
kuuluvad arvud $\lambda\in \C$, mille korral $\lambda I-A$ ei ole pööratav.
On teada, et spektraalraadius $r(A)=\lim_{n\to\infty}\n{A^n}^\frac1n=1$ ning $\sigma(A)\ne\emptyset$.
Kuna $T$ on unitaarne, siis spektrisse kuuluvad parajasti arvud $\lambda$, mille korral
leidub ühikvektorite jada $x^n$ selliselt, et $\n{A x^n-\lambda x^n}\to0$,
see tähendab, 
$\a{x_2^n-\lambda x_1^n}^2+
\a{x_1^n-\lambda x_2^n}^2+\dots\to0$.
Kuna $A$ on enesekaasne, siis $\sigma(A)\subset\R$.
Operaatori $A$ omaväärtused: $Ax=\lambda x$ annab $x_{2n}=\lambda x_{2n-1}$, $x_{2n-1}=\lambda x_{2n}$,
millest $x_{2n}=\lambda^2 x_{2n}$, $x_{2n-1}=\lambda^2 x_{2n-1}$ ning kuna $x\ne0$, siis
$\lambda=\pm1$.
Me leiame
$(\lambda I - A)x=(\lambda x_1-x_2,\lambda x_2-x_1,\lambda x_4-x_3,\lambda x_3-x_4,\dots)$.
\end{enumerate}

\setcounter{enumi}{78}
\item 
\begin{enumerate}
\item Veendume, et $M_0$ on $Y$ alamhulkade $\sigma$-algebra. Valides $B=\emptyset$ ja $B=X$, saame
$\emptyset,Y\in M_0$. Kui $A\in M_0$, siis $A=B\cap Y$ mingi $B\in M$ korral. Nüüd
$A^c=Y\setminus (B\cap Y)=(X\setminus B)\cap Y=B^c\cap Y$ ning kuna $B^c\in M$, siis ka $A^c\in M_0$.
Lõpuks, olgu $A_j\in M_0$, kus $j\in\N$. Näitame, et $\bigcup_{j=1}^\infty A_j\in M_0$.
Tõepoolest, $\bigcup_{j=1}^\infty B_j\cap Y=\s{\bigcup_{j=1}^\infty B_j}\cap Y$, kusjuures kuna $B_j\in M$, siis
$\bigcup_{j=1}^\infty B_j\in M$.

Veendume, et $\mu_0$ on korrektselt defineeritud. Olgu $A=B_1\cap Y=B_2\cap Y$, kus $B_1,B_2\in M$. Siis 
$\mu(B_1\cup B_2)=\mu(B_1\cap B_2)+\mu(B_1\triangle B_2)=\mu(B_1\cap B_2)\leq \mu(B_1)$,
sest $B_1\triangle B_2\in X\setminus Y$, $B_1\triangle B_2\in M$. Teisalt aga $\mu(B_1\cup B_2)\geq \mu (B_1)$.
Nüüd $\mu(B_1\cup B_2)=\mu (B_1)$. Analoogiliselt $\mu(B_1\cup B_2)=\mu(B_2)$. Kokkuvõttes $\mu(B_1)=\mu(B_2)$
ning $\mu_0(A)=\mu(B_1)$ on korrektselt defineeritud.

Veendume, et $\mu_0$ on mõõt. Saame $\mu_0(\emptyset)=\mu_0(\emptyset \cap Y)=\mu(\emptyset)=0$.
Olgu nüüd $A_j\in M_0$, kus $A_j=B_j\cap Y$, $B_j\in M$, $j\in\N$, sellised, et $i\ne j\Rightarrow
A_i\cap A_j=\emptyset$ ning $\bigcup_{j=1}^\infty A_j\in M_0$. Veendume, et $\mu_0\s{\bigcup_{j=1}^\infty A_j}=
\sum_{j=1}^\infty \mu(A_j)$. Me saame
$\mu_0\s{\bigcup_{j=1}^\infty A_j}=\mu_0\s{\s{\bigcup_{j=1}^\infty B_j}\cap Y}=\mu\s{\bigcup_{j=1}^\infty B_j}=
\sum_{j=1}^\infty \mu(B_j)=\sum_{j=1}^\infty \mu_0(A_j)$.

\item Ruumil $\R$ vaatleme Boreli mõõtu. Funktsiooni $f|_Y$ mõõtuvus on samaväärne sellega, et
$\h{y\in Y\,:\,f(y)<a}\in M_0$ mistahes $a\in\R$ korral. Fikseerime $a\in \R$. Me teame, et $\h{x\in X\,:\,f(x)<a}\in M$. Ent $\h{y\in Y\,:\,f(y)<a}=\h{x\in X\,:\,f(x)<a}\cap Y$.

Kontrollime, et vastupidine üldiselt ei kehti. Me peame valima $M$ nii, et $M\ne 2^X$ ja $Y\notin M$.
Siis $\chi_Y|_Y\equiv 1$ on mõõtuv, aga $\chi_Y$ ei ole mõõtuv. Tõepoolest, kui $a\leq 1$, siis $\h{y\in Y\,:\,\chi_Y|_Y(y)<a}=\emptyset\in M_0$
ja kui $a>1$, siis $\h{y\in Y\,:\,\chi_Y|_Y(y)<a}=Y\in M_0$. Ent 
$\h{y\in Y\,:\,\chi_Y|_Y(y)<2}=Y\notin M$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Me saame $0=\mu(A\triangle B)=\mu(A\setminus B)+\mu(B\setminus A)$, millest järeldub, et $\mu(A)=\mu(A\cap B)+\mu(A\setminus B)=\mu(A\cap B)$, analoogiliselt $\mu(B)=\mu(A\cap B)$, mistõttu $\mu(A)=\mu(B)$.

\item Saame, et $d(A,A)=\mu(A\triangle A)=\mu(\emptyset)=0$, kus $A\in M$.
Edasi, $d(A,B)=\mu(A\triangle B)=\mu(B\triangle A)=d(B,A)$, kus $A,B\in M$.
Lõpuks, olgu $A,B,C\in M$, siis $A\triangle C\subset A\triangle B\cup B\triangle C$
ning järelikult $d(A,C)=\mu(A\triangle C)\leq \mu(A\triangle B)+\mu(B\triangle C)=d(A,B)+d(B,C)$.

\item Saame $\mu(A)=\mu(A\cap A_n)+\mu(A\setminus A_n)$,
analoogiliselt $\mu(A_n)=\mu(A\cap A_n)+\mu(A_n\setminus A)$. Siit
$\a{\mu(A)-\mu(A_n)}=\a{\mu(A\setminus A_n)-\mu(A_n\setminus A)}\leq \mu(A\setminus A_n)+\mu(A_n\setminus A)=
\mu(A_n\triangle A)=d(A_n,A)\to0$.
\end{enumerate}

\item Olgu $D$ funktsionaaljada $(f_n)$ punktiviisi koonduvuspiirkond. 
Siis kehtib võrdus
$D=     \bigcap_{k=1}^\infty \bigcup_{m=1}^\infty\bigcap_{p=1}^\infty \h{x\in X\,:\,\a{f_{m+p}(x)-f_m(x)}<\frac 1k}$.
Tõepoolest, kui $x\in X$, siis valides $k$ suvalise, leidub $M$, et kehtib iga
$p$ korral $\a{f_{M+p}(x)-f_M(x)}<\frac 1k$. Seega kehtib $\subset$. Vastupidi, olgu 
$x\in X$ niisugune, et iga $k$ korral leidub $m$ selliselt, et iga $p$ jaoks $\a{f_{m+p}(x)-f_m(x)}<\frac 1k$. Siis
$(f_m(x))$ on Cauchy jada, järelikult koonduv jada. See põhjendab $\supset$.

On jäänud näidata, et mistahes $k$, $m$, $p$ korral on hulk $\h{x\in X\,:\,\a{f_{m+p}(x)-f_m(x)}<\frac 1k}$
mõõtuv. Me saame, et $\h{x\in X\,:\,\a{f_{m+p}(x)-f_m(x)}<\frac 1k}=
\h{x\in X\,:\,f_{m+p}(x)-f_m(x)<\frac 1k}\cap \h{x\in X\,:\,f_{m+p}(x)-f_m(x)>-\frac 1k}$.
Sealjuures on teada, et kui $f$ ja $g$ on mõõtuvad, siis $f-g$ on mõõtuv (kus ta on määratud).

\item \begin{enumerate}
\item Olgu $A$ hulk, et iga $x\in A$ sisaldub lõpmatus arvus hulkades $E_n$. Siis
$A=\bigcap_{m=1}^\infty \bigcup_{n=m}^\infty E_n$. Tõepoolest, punkt, mis sisaldub lõpmatus arvus hulkades
$E_n$, on parajasti selline, et ta sisaldub igas ühendis $\bigcup_{n=m}^\infty E_n$ ($m\in\N$).
Nüüd aga
$\mu(A)\leq\sum_{n=m}^\infty \mu(E_n)$ iga $m$ korral, mis rea $\sum_{n=1}^\infty \mu (E_n)$ tõttu tähendab,
et $\mu(A)=0$. 

Rakendame Lebesgue'i monotoonse koonduvuse teoreemi funktsioonile $g=\sum_{n=1}^\infty \chi_{E_n}$,
saame $\int g\,d\mu=\int \sum_{n=1}^\infty \chi_{E_n}\,d\mu =\sum_{n=1}^\infty \int\chi_{E_n}\,d\mu=\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)<\infty$.
Olgu $x_0\in A$, siis teiselt poolt kehtib aga $g(x_0)=+\infty$, mis on vastuolu
(kuna Lebesgue'i integraali definitsiooni meenutades kehtib üldiselt
$g(x_0)\leq \int g\,d\mu$). Järelikult $A=\emptyset$.

\item
Olgu $k\in \N$ fikseeritud.

Me saame 
$A_k=\bigcup_{\substack{n_1,\dots,n_k\\
n_1<\dots<n_k}} \s{\bigcap_{m=1}^k E_{m_k}}$, siin iga $\bigcap_{m=1}^k E_{m_k}$
on mõõtuv ja mõõtuvate ühendite loenduv ühend on samuti mõõtuv. (Naturaalarvude $k$-elemendiliste alamhulkade
arv on loenduv.) 

Nüüd tähistame nagu ennegi
$g=\sum_{k=1}^\infty \chi_{E_k}$,
siis $k\mu(A_k)\leq \int_{A_k} g\,d\mu\leq\int g\,d\mu\leq \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Kõigepealt, kuna $f$ on paaritu funktsioon (tõepoolest, $f(0)=0$, millest
$0=f(x)+f(-x)$), siis on ka $g$ paaritu: $g(-t)=f(-t)-\frac{f(x)}x\cdot(-t)=-\s{f(t)-\frac{f(x)}x t}=-g(t)$.
Me saame iga $t\in\R$ korral
$g(t+x)=f(t+x)-\frac{f(t+x)}{t+x}t=f(t)+f(x)-\frac{f(x)}{x}(t+x)=
f(t)+f(x)-\frac{f(x)}x t-f(x)=g(t)$.
Siit järeldub, et $g(x-t)=g(-t)=-g(t)$ iga $t\in\R$ korral.
Edasi, $g(2t)=f(2t)-\frac{f(x)}x\cdot 2t=2g(t)$ ning seetõttu
$\int_0^x\frac{dt}{1+|g(t)|}=\int_0^x \frac{d(2t)}{1+|g(2t)|}=
2\int_0^\frac x2 \frac{dt}{1+2|g(t)|}=
\int_0^\frac x2 \frac{dt}{1+2|g(t)|}+
\int_\frac x2^x\frac{d(x-t)}{1+2|g(x-t)|}=\int_0^x\frac{dt}{1+2|g(t)|}$.

\item Olgu $a=\sup_{\substack{t\in[0,x]\\ g([0,t])=\h{0}}} t$. Ilmselt $a$ on olemas, sest
$g(0)=0$. Meie ülesanne on näidata, et $a=x$. Oletame vastuväiteliselt, et $a<x$. 

Näitame kõigepealt,
et $a>0$. Kui $a=0$, siis vaatleme funktsiooni $G(y)=\int_0^y\frac{dt}{1+|g(t)|}$, 
saame $G'(y)=\frac1{1+2^n|g(y)|}$ ning lastes $n\to\infty$, saame $G'(y)=0$, kus $y\in(0,x]$.
Seega $G$ on piirkonnas $(0,x]$ konstantne. Ent see tähendab, et ???

Oletusest $a<x$ saame, et leidub $b\in(a,\min(2a,x))$. Nüüd $\frac b2<a$, seega
$0=2g\s{\frac b2}=g(b)$, vastuolu sellega, et $a$ on supreemum arvudest $t$, kus $g(t)=0$.

RAAMATU VARIANT: Saame
$\int_0^x\frac{|g(t)|\,dt}{(1+|g(t)|)(1+2|g(t)|}=\int_0^x\frac{dt}{1+2|g(t)|}-\int_0^x\frac{dt}{(1+|g(t)|)(1+2|g(t)|}=\int_0^x\s{\frac{1}{1+|g(t)|}-\frac1{(1+|g(t)|)(1+2|g(t)|}}\,dt=\int_0^x\frac{2|g(t)|\,dt}{(1+|g(t)|)(1+2|g(t)|)}$,
millest $\int_0^x\frac{|g(t)|\,dt}{(1+|g(t)|)(1+2|g(t)|)}=0$.
Seega $g(t)=0$ iga $t\in[0,x]$ korral.
Perioodilisuse tõttu ka $g(t)=0$ iga $t\in\R$ korral. Fikseerides $t=1$, tuleb $f(1)=\frac{f(x)}x$, millest
$f(x)=f(x)x$.
\end{enumerate}

\item

\item 
Fatou lemma väidab, et kui $(f_n)$ on lihtsate mõõtuvate funktsioonide jada, siis
$\int \liminf_{n\to\infty} f_n\leq \liminf_{n\to\infty}\int f_n$. Nüüd $\int f_n=\mu(E)$, kui $n$ on paaris,
ja $\int f_n=\mu(E^c)$, kui $n$ on paaritu. Seega
$\liminf_{n\to\infty} \int f_n=\min(\mu(E),\mu(E^c))$.
Funktsioon $\liminf_{n\to\infty} f_n$ on funktsioon, mis igale punktile $x$ seab vastavusse väärtuse
$\liminf_{n\to\infty} f_n(x)$. Seega $\liminf_{n\to\infty} f_n$ on samaselt võrdne nulliga (kuna punkt $x$ kas kuulub
hulka $E$ või mitte, ning kummalgi juhul sisaldab mittenegatiivsete liikmetega jada $(f_n(x))$ nullidest
koosneva osajada). Niisiis $\int \liminf_{n\to\infty}f_n=0$. Ega siit eriti targemaks ei saa:
niikuinii on teada, et $0\leq \min(\mu(E),\mu(E^c))$.

Teise väite korral tuleb $\liminf_{n\to\infty}f_n=0$, sest iga punkti $x$ korral leidub naturaalarv 
$N>x$ ning siis $n\geq N\Rightarrow f_n(x)=0$. Ent $\int f_n=\mu([n,2n])=n$ ja $\liminf_{n\to\infty}n=+\infty$.
Saime teada, et $0\leq +\infty$.

\item Lebesgue'i domineeritud koonduvuse teoreem: Olgu funktsioonid $f_n\in L_1$, $n\in\N$, ja $f:X\to[-\infty,\infty]$ sellised, et $f_n\to f$ peaaegu kõikjal ning leidub $g\in L_1$ selliselt,
et $|f_n|\leq g$. Siis ka $f\in L_1$, kusjuures $\int f=\lim_{n\to\infty}\int f_n$.

Lebesgue'i monotoonse koonduvuse teoreem: Olgu $f$ ja $f_n$ mittenegatiivsed mõõtuvad funktsioonid
selliselt, et $f_n\nearrow f$. Siis $\int f=\lim_{n\to\infty}\int f_n$.

\begin{enumerate}
\item Rakendame Lebesgue'i domineeritud koonduvuse teoreemi, vastus tuleb $1$.
\item Rakendame Lebesgue'i domineeritud koonduvuse teoreemi, vastus tuleb $0$.
\item Rakendame Lebesgue'i domineeritud koonduvuse teoreemi, vastus tuleb $0$.
\item Ei saa neid tulemusi rakendada.
\end{enumerate}
Punktides (a) ja (c) saab rakendada ka Lebesgue'i monotoonse koonduvuse teoreemi.

\item Lebesgue'i monotoonse koonduvuse teoreemi kohaselt
$\lim_{n\to\infty}\int_0^n f_n(x)\,dx=\int_0^\infty \s{\lim_{n\to\infty} f_n(x)}\,dx=
\int_0^\infty e^{-\frac x2}\,dx=2$ ja $\lim_{n\to\infty}\int_0^n g_n(x)\,dx
=\int_0^\infty \s{\lim_{n\to\infty} g_n(x)}\,dx=\int_0^\infty e^{-x}\,dx=1$. Domineeritud
koonduvuse teoreemi rakendada ei saa, sest $f(x)=e^x$ pole tõkestatud piirkonnas $(0,\infty)$.

Viimase integraali puhul saame $\s{1+\frac{x^2}n}^{-n} \leq \frac1{1+x^2}$.
Lebesgue'i domineeritud koonduvuse teoreemist järeldub, et 
$\lim_{n\to\infty}\int_0^\infty\s{1+\frac{x^2}n}^{-n}\,dx=\int_0^\infty\s{\lim_{n\to\infty}\s{1+\frac{x^2}n}^{-n}}\,dx=\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx=\frac12\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}2$.
Siin me kasutasime seda, et Gaussi integraali $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx$ väärtus on $\sqrt{\pi}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item
Esimene funktsioonide jada ei ole tõkestatud ($n$ suhtes). Teisel juhul $nxe^{-n^2x^2}\leq e^{-\frac x2}$,
seega saab teoreemi rakendada.
\item ??
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item 
Tähistame $g(k)=|a_k|$, siis $\a{f_n(k)}=\frac kn|a_k|\leq g(k)$, kui $k\leq n$, ja $f_n(k)=0\leq g(k)$, kui $k>n$.
Kontrollime, et $g\in L_1(\mu)$, see tähendab, $\int_\N g\,d\mu$ on lõplik. 
Me saame, et $\int_\N g\,d\mu=\sum_{k=1}^\infty g(k)\mu(\h{k})=\sum_{k=1}^\infty \frac{|a_k|}k<\infty$.
\item Arvutame: $\int_\N f_n\,d\mu=\sum_{k=1}^n \frac kn a_k\cdot\frac 1k=\frac1n\sum_{k=1}^n a_k$.
Jada koondub seoses sellega, et $|f_n|\leq g$ (Lebesgue'i domineeritud koonduvuse teoreem). 
Kuna $\lim f_n=0$, siis 
$\lim_{n\to\infty}\int_\N f_n\,d\mu=\int_\N\s{\lim f_n}\,d\mu=0$. 

Üldisem tulemus oleks: kui $\sum_{k=1}^\infty\frac{|a_k|}k<\infty$, siis jada $\frac1n\sum_{k=1}^n a_k$
hääbub.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Me saame $|f_n|\leq |f|$, kusjuures $|f|$ on mõõtuv funktsioon (sest $f$ on mõõtuv). Järelikult
$\lim_{n\to\infty}\int_E f_n\,d\mu=\int_E\s{\lim_{n\to\infty} f_n}\,d\mu$.
Ent mistahes punkti $x\in E$ korral leidub $N$, et $n\geq N\Rightarrow |f(x)|\leq N$, mistõttu 
$\lim_{n\to\infty}f_n=|f|$.
\item Olgu $f$, $\varepsilon$ ja $n$ sellised, nagu ülesandes toodud, ning
olgu $E$ suvaline mõõtuv hulk nii, et $\mu(E)<\frac\varepsilon{2n}$. Siis
$\int_E|f|\,d\mu=\int_E|f|\,d\mu-\int_Ef_n\,d\mu+\int_Ef_n\,d\mu<\frac\varepsilon2+\int_E f_n\,d\mu$.
Niisiis meil piisab näidata, et $\int_E f_n\,d\mu<\frac\varepsilon2$. Ent see on õige, sest
$\int_E f_n\,d\mu\leq \int_E n\,d\mu=n\mu(E)<\frac\varepsilon2$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item
Fikseerime punkti $t\in\R$. Siis kas $t<x$ või $t>x$, vaatleme konkreetsuse mõttes $t<x$. Nüüd leidub
$N$, mille korral $n\geq N\Rightarrow t<x_n$. Järelikult kui $n\geq N$, siis
$g_n(t)=f(t)$.
Kui aga $t>x$, siis leidub $N$, mille korral $n\geq N\Rightarrow x_n<t$. Järelikult kui $n\geq N$, 
siis $g_n(t)=0$. Võime tähistada $g=\chi_{(-\infty,x]}f$, siis $g_n\to g$ kõikjal välja arvatud
$x$ korral ja $|g_n|\leq |g|$.

\item Meil kehtib $F(x_n)=\int g_n\,dm$ ja $F(x)=\int g\,dm$. Kuna $f$ on integreeruv, on ka $g_n$
ja $g$ integreeruvad. Sealjuures $g_n\to g$ peaaegu kõikjal ja $|g_n|\leq |g|$, mistõttu
$g_n\to g$ ruumis $L_1$. Järelikult $\a{F(x_n)-F(x)}\leq \int_\R |g_n-g|\,dm\to0$.
\end{enumerate}

\item Võrdus on ilmne, kui kasutame Lebesgue'i domineeritud koonduvuse teoreemi.

Kontranäide???
\end{enumerate}
\end{document}