\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage{textcomp}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\everymath{\displaystyle}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{naide}{Näide}
\newtheorem{yl}{Ülesanne}
\begin{document}
\section*{Lev Bukovsk\'{y}, Igor Kluv\'{a}nek "`Dirichletov princ\'{i}p''}
\subsection*{Praha 1970}

\begin{naide}
Tuginedes antropoloogiale, ei leidu inimest suurema kui 500 000 juuksekarvade arvuga.
Tõestame, et Prahas leidub kaks võrdse juuksekarvade arvuga inimest.
\end{naide}

\begin{yl}
Raamatukogus on 1100 raamatut, millest ühelgi pole rohkem kui 1000 lehekülge. Tõestage,
et raamatukogus leidub kaks võrdse lehekülgede arvuga raamatut.
\end{yl}

\begin{yl}
Kõrgkooli esimesele kursusele tuli 84 eri keskkoolist pärit 120 üliõpilast. Tõestage,
et esimesel kursusel leidub vähemalt kaks üliõpilast, kes tundsid üksteist juba keskkoolipäevil.
\end{yl}

\begin{yl}
Korratul õpilasel on sahtlis viit eri värvi sokke (igast värvist vähemalt kaks). Mitu
sokki tuleks sahtlist võtta, et võetud sokkide seas oleks kaks sama värvi?
\end{yl}

\begin{yl}
Viskame kaht täringut. Mitu korda on tarvis visata, et kindlasti saada kaks viset, mille silmade summad on võrdsed?
\end{yl}

\begin{naide}
Konverentsist võttis osa 40 delegaati 13 riigist. Tõestage, et vähemalt ühe riigi
delgatsioonis oli rohkem kui 3 liiget.
\end{naide}

\begin{yl}
Mitu korda on tarvis visata kolme täringut, et kindlasti olla teinud vähemalt neli viset, mille silmade summad on võrdsed?
\end{yl}

\begin{yl}
Mitu korda on tarvis visata kahte täringut, et saada kolm korda samad silmad mõlemal täringul? Lahendada ülesanne
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\item juhul, kui täringud on ühesugused, st. silmade paarid $(2,1)$ ja $(1,2)$ loeme võrdseteks;
\item juhul, kui täringud on erinevad (näiteks eri värvi), st. näiteks silmade paarid $(2,1)$ ja $(1,2)$ loeme erinevateks.
\end{enumerate}
\end{yl}

\begin{naide}
On antud kumer neliteisttahukas $9$ tipuga. Tõestage, et tal leidub tipp, millest
väljub vähemalt $5$ serva.
\end{naide}

\begin{yl}
On antud kumer seitsetahukas $6$ tipuga. Tõestage, et täpselt üks tahk on nelinurk.
\end{yl}

\begin{naide}
Konverentsist võttis osa 70 delegaati, kes kõnelesid 11 erinevat keelt.
Üht keelt kõneles ülimalt 15 delegaati. Otsustati valida ametlikuks keeleks
iga keel, mida kõneles vähemalt 5 delegaati. Tõestage, et konverentsil oli
vähemalt 3 ametlikku keelt.
\end{naide}

\begin{naide}
On tarvis tõestada, et suvaliste $13$ reaalarvu seast saab leida kaks arvu
$x$ ja $y$, mille korral
\[
0<\frac{y-x}{1+xy}<2-\sqrt3.
\]
\end{naide}

\begin{yl}
Tõestage, et antud $n+1$ suvalise reaalarvu seast saab leida kaks arvu
$x$ ja $y$, mille korral
\[
0<\frac{y-x}{1+xy}<\tan\frac\pi n.
\]
\end{yl}

\begin{yl}
Tõestage, et suvalise $11$ reaalarvu seast, mis on vahemikus $(1,100)$, saab valida kaks
sellist, mille jagatis on väiksem kui $1{,}6$, aga suurem kui $1$.
\end{yl}

\begin{naide}
Aianduses kehtivate reeglite kohaselt peab kahe puu vaheline kaugus olema mitte väiksem kui 
$5$ meetrit. Tõestage, et
ristkülikukujulises aias mõõtmetega $20$ m \texttimes $15$ peab seetõttu olema vähem
kui $26$ puud.
\end{naide}

\begin{yl}
Aias mõõtmetega $35$ m \texttimes $42$ m on 100 puud. Kas saab leida sellise $3$ m \texttimes $5$ m ristküliku, et selles kasvaks vähemalt kaks puud?
\end{yl}

\begin{yl}
Ruudus mõõtmetega $10\times 10$ asetsevad $101$ punkti. Näidake, et selles ruudus võib leida 
kolmnurga pindalaga $1$ cm$^2$, milles asub vähemalt kaks antud punkti.
\end{yl}

\begin{yl}
Aias mõõtmetega $80$ m \texttimes $90$ m kasvab 365 puudu. Kas võib leida aias
ristküliku mõõtmetega $5$ m \texttimes $8$ m, milles kasvab vähemalt 3 puud?
\end{yl}

\begin{yl}
Ristkülikusse mõõtmetega $27$ m \texttimes $36$ m on paigutatud $1945$ punkti.
Tõestage, et vähemalt $7$ neist võib korraga katta kolmnurgaga, mille pindala on 3 cm$^2$.
\end{yl}

\begin{yl}
Näidake, et ruudus küljepikkusega 1 asetsevast $51$ punkti seast võib leida mingid 3, mida
saab katta ringiga raadiusega $\frac17$.
\end{yl}



\begin{naide}
On antud 82 naturaalarvu. Tarvis tõestada, et nende seast võib leida kaks sellist, mille vahe jagub arvuga $81$.
\end{naide}

\begin{yl}
Näidake, et antud $n+1$ naturaalarvu seas leidub kaks, mille vahe jagub arvuga $n$.
\end{yl}

\begin{yl}
Tõestage, et iga naturaalarvu $n$ korral leidub arv, mille kümnendesitus
on kujul $11\ldots 100\ldots 0$ ning mis jagub arvuga $n$.
\end{yl}

\begin{yl}
Tõestage, et iga arvust $2$ ja $5$ erineva algarvu $p$ korral leidub arv
kujul $111\ldots1$ (st. kirja pandav kümnendsüsteemis ainult numbriga $1$),
mis jagub arvuga $p$.
\end{yl}

\begin{naide}
On antud $67$ naturaalarvu. Tõestage, et nende seast võib välja valida
mõned arvud selliselt, et nende summa jaguks arvuga $67$.
\end{naide}

\begin{yl}
Tõestage, et $n$ arvu seast saab valida mõned selliselt, et nende summa jagub arvuga $n$.
\end{yl}

\begin{yl}
Ignatius Kvantifikaator (kuulsa professor Kvantifikaatori poeg) lahendas kolme kuu kestel iga päev vähemalt
ühe matemaatikaülesande. Kalendrinädala jooksul ei lahendanud ta samas rohkem kui 13 ülesannet.
Tõestage, et leidub üksteisele järgnevate päevade jada, mille käigus lahendas Ignatius täpselt 33 ülesannet.
\end{yl}

\begin{yl}
Keegi lahendas vähemalt kaks ülesannet päevas, aga nädalas mitte rohkem kui 17. Tõestage, et kas
leiduvad mõned üksteisele järgnevad päevad, mille käigus lahendas ta 23 ülesannet või mõned üksteisele järgnevad päevad, mille käigus ta lahendas 46 ülesannet.
\end{yl}

\begin{yl}
Olgu $p$ ja $q$ ühistegurita naturaalarvud. Tõestage, et leidub naturaalarv $n$
selliselt, et arv $1+q+q^2+\dots+q^n$ jagub arvuga $p$. Lisaks tõestage, et kui
$1+q+q^2+\dots+q^n$ jagub arvuga $p$ ja $k$ on naturaalarv, siis ka 
$1+q+q^2+\dots+q^{k(n+1)-1}$ jagub arvuga $p$.
\end{yl}

\begin{naide}
Tõestage, et arvu $37$ mingi aste lõpeb numbrite rühmaga $00001$. 
\end{naide}

\begin{yl}
Olgu arv $p$ ühistegurita arvuga $100 000$. Tõestage, et arvu $p$ mingi astme
kümnendesitus lõpeb numbrite rühmaga $00001$. Tõestage veel, et iga naturaalarvu
$n$ korral leidub selline naturaalarv $k$, et $p^k$ kümnendesituse lõpus on
$n$ nulli ja number $1$.
\end{yl}

\begin{yl}
Olgu arvud $p$ ja $q$ ühistegurita. Tõestage, et arvu $p$ mingi positiivne aste
annab arvuga $q$ jagades jäägi $1$.
\end{yl}

\begin{naide}
Tõestage, et leidub selline naturaalarv $k\leq100$, et võrrandil $\left\lfloor\sqrt{x}+\frac1x\right\rfloor=k$ on vähemalt $100$ naturaalarvulist lahendit.
\end{naide}

\begin{yl}
Tõestage, et leiduvad sellised naturaalarvud $k$:
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\item
$k\leq6000$, et võrdust $\left\lfloor\sqrt{x}\log x\right\rfloor=k$ rahuldab vähemalt $160$
naturaalarvu.
\item
$k\leq600$, et võrdust $\left\lfloor\sqrt[3]{x}\log x\right\rfloor=k$ rahuldab vähemalt $160$
naturaalarvu.
\end{enumerate}
\end{yl}

\begin{naide}
Olgu $x$ irratsionaalarv. Tõestage, et kui $k$ on suvaline naturaalarv, siis leiduvad
sellised täisarvud $m$ ja $n$, et $0<m+nx<\frac1k$.
\end{naide}

\begin{yl}
Olgu $x\ne0$ ratsionaalarv, mille võib kirjutada kujul $x=\frac pq$, kus $p$ on täisarv,
 $q$ naturaalarv ning $p$ ja $q$ on ühistegurita. Tõestage, et kui $k$ on 
naturaalarv, $k<q$, siis leiduvad sellised täisarvud $m$ ja $n$, et $0<m+nx<\frac1k$.
\end{yl}

\begin{yl}
Tõestage, et kui $x$ on ratsionaalarv, $x\ne0$, $x=\frac pq$,
kus $p$ on täisarv ja $q$ on naturaalarv, ning $\alpha,\beta$ on sellised
arvud, et $\beta-\alpha<\frac1q$, siis leiduvad sellised täisarvud $m$ ja $n$, et
$\alpha < m+nx<\beta$.
\end{yl}

\begin{yl}
Tõestage, et kui $x$ on ratsionaalarv, $x\ne0$, $x=\frac pq$,
kus $p$ on täisarv ja $q$ on naturaalarv, ning $k$ on selline naturaalarv, et
$k\geq q$, siis 
leiduvad sellised täisarvud $m$ ja $n$, et
$0 < m+nx<\frac1k$.
\end{yl}

\begin{naide}
On teada, et leidub täpselt $7$ algarvu, mis pole väiksemad kui $1061$ ja suuremad
kui $1097$ ning lisaks, nende $7$ seas on kaks järjestikust algarvu $p$ ja $q$ selliselt, et 
$p-q=18$. Tõestage, et leidub vähemalt kaks paari algarvude kaksikuid arvude $1061$ ja $1097$ vahel.
\end{naide}

\begin{yl}
Arvude $3907$ ja $3947$ vahel on $9$ algarvu, kusjuures teatud kahe järjestikuse algarvu vahe on 12. 
Tõestage, et $3907$ ja $3947$ vahel on vähemalt kaks paari algarvude kaksikuid.
\end{yl}

\begin{yl}
Arvude $a$ ja $b$ vahel on $k\geq2$ algarvu, $a<b$, kusjuures kahe järjestikuse algarvu
vahe on $h$. Tõestage, et $a$ ja $b$ vahel on vähemalt $\left\lfloor 2(k-1)-\frac{b-a-h}2\right\rfloor$ paari algarvude kaksikuid.
\end{yl}





\begin{naide}
Tarvis on näidata, et kumera $n$-nurga vähemalt üks nurk on suurem või võrdne arvuga $\frac{n-2}n\pi$.
\end{naide}

\begin{naide}
Poldaavia pindala on $268\ 138$ km$^2$. Seal on püstitatud $13$ televisioonimasti TV-signaali edastamiseks. Signaali kvaliteet on normikohane mastist $80$ km raadiuses. Tõestage, et
Poldaavia ei ole täielikult televisioneeritud, see tähendab, seal leidub kohti, kus signaali
kvaliteet on alla normi.
\end{naide}

\begin{yl}
Kehtigu järgmine väide.
\begin{quotation}
Kui $a_1,a_2,\dots,a_n$ on suvalised reaalarvud, mis pole väiksemad kui $b$, siis
vähemalt üks nende seast pole väiksem kui $\frac bn$.
\end{quotation}
Tõestage selle väite abil Dirichlet' printsiip (nii liht- kui üldvariant).
\end{yl}

\begin{yl}
Olgu tasandil antud kolm punkti. Tõestage, et vähemalt üks nende poolt määratud
nurk pole väiksem kui $\frac13\pi$.
\end{yl}

\begin{naide}
Olgu antud neli erinevat punkti tasandil. Tõestage, et vähemalt üks nende
poolt määratud nurk pole väiksem kui $\frac12\pi$.
\end{naide}

\begin{yl}
Tõestage, et $5$ punkti tasandil määravad vähemalt ühe nurga, mis pole väiksem kui $\frac35\pi$.
\end{yl}

\begin{yl}
Tõestage, et $6$ punkti tasandil määravad vähemalt ühe nurga, mis pole väiksem kui $\frac23\pi$.
\end{yl}

\begin{yl}
Tõestage, et $7$ punkti tasandil määravad vähemalt ühe nurga, mis pole väiksem kui $\frac23\pi$.
\end{yl}

\begin{yl}
Tõestada järgmised väited.
\begin{quotation}
Antud $n$ reaalarvu seas, mille summa on suurem kui $b$, leidub vähemalt üks, mis on suurem kui $\frac bn$.
\end{quotation}
\begin{quotation}
Kui $n$ reaalarvu summa pole suurem kui $b$, on vähemalt üks neist arvudest mitte
suurem kui $\frac bn$.
\end{quotation}
\begin{quotation}
Kui $n$ reaalarvu summa on väiksem kui $b$, on vähemalt üks neist arvudest väiksem kui $\frac bn$.
\end{quotation}
\end{yl}

\begin{naide}
Tõestage, et silindrikujulisse kasti kõrgusega $60$ cm ja põhja läbimõõduga $40$ cm
pole võimalik paigutada $2630$ lauatennisepalli läbimõõduga $3{,}8$ cm.
\end{naide}

\begin{naide}
Tõestage, et ristkülikukujulises aias mõõtmetega $100$ korda $300$ m peab olema vähem kui $3851$ puud, kui suvalise kahe puu vaheline kaugus peab olema suurem kui $4$ m.
\end{naide}

\begin{naide}
Tõestage, et ristkülikukujulises aias mõõtmetega $100$ korda $300$ m peab olema vähem kui $2516$ puud, kui suvalise kahe puu vaheline kaugus peab olema suurem kui $4$ m.
\end{naide}

\begin{yl}
Tõestage, et ristkülikusse mõõtmetega $197$ korda $94$ ei saa paigutada $24\ 000$ punkti
selliselt, et iga kahe punkti vaheline kaugus poleks väiksem kui $1$.
\end{yl}

\begin{yl}
Tõestage, et ristkülikusse mõõtmetega $a$ korda $b$ ei saa paigutada rohkem kui $\frac{4(a+\varepsilon)(b+\varepsilon)}{\pi \varepsilon^2}$ punkti selliselt,
et suvalise kahe punkti vaheline kaugus oleks suurem kui $\varepsilon$.
\end{yl}

\begin{yl}
Tõestage, et ristkülikusse mõõtmetega $a$ korda $b$ ei saa paigutada rohkem kui
$\left\lfloor \frac{2ab}{\varepsilon^2}+\frac{\sqrt{2}}{\varepsilon}(a+b)\right\rfloor+1$ punkti selliselt, et suvalise kahe punkti vaheline kaugus oleks suurem kui $\varepsilon$.
\end{yl}

\begin{naide}
Ringikujuline auk läbimõõduga $6$ m on kaetud $15$ plaadiga (selliselt, et august pole midagi
näha). Tõestage, et ühe plaadi laius on vähemalt $40$ cm.
\end{naide}

\begin{yl}
Ring raadiusega $R$ on jaotatud $n$ osaks. Tõestage, et vähemalt ühe osa laius pole väiksem kui $\frac{2R}n$.
\end{yl}

\begin{naide}
Sirgel $p$ olgu antud $6$ lõiku $u_1$ kuni $u_6$ ilma ühiste punktideta. Olgu $k_i$
selline ring, mille keskpunkt asub pooltasandil $\rho^+$ raadiusega $u_i$, kusjuures
$u_i$ osutugu selle ringi kõõluks. Näidake, et ei leidu punkti, mis asuks kõigi nende
ringide sees.
\end{naide}

\begin{yl}
Olgu sirgel $p$ antud $n$ lõiku $u_1,u_2,\dots,u_n$ ilma ühiste punktideta (otspunktid
võivad olla ühised).
Olgu $k_i$ ring, mille keskpunkt asub pooltasandil $\rho^+$ selliselt, 
et $u_i$ on selle ringi kõõl ja kõõludele $u_i$ toetuvad kesknurgad
on kõik võrdsed nurgaga $\alpha$. Tõestage, et kui $n\cdot\alpha\geq 360^\circ$, siis nendel ringidel
ei ole ühist punkti. Tõestage, et kui $n\cdot\alpha < 360^\circ$, siis leiduvad sellised lõigud
$u_1,\dots,u_n$, et vastavatel ringidel on ühine punkt.
\end{yl}

\begin{yl}
Olgu sirgel $p$ antud $n$ lõiku $u_1,u_2,\dots,u_n$ ilma ühiste punktideta (otspunktid
võivad olla ühised).
Olgu $k_i$ ring, mille keskpunkt asub pooltasandil $\rho^+$ selliselt, 
et $u_i$ on selle ringi kõõl ja kõõlule $u_i$ toetuv kesknurk
on $\alpha_i$. Tõestage, et kui $\sum_{i=1}^n\alpha_i\geq 360^\circ$, siis nendel ringidel
ei ole ühist punkti. Tõestage, et kui $\sum_{i=1}^n\alpha_i < 360^\circ$, siis leiduvad sellised lõigud
$u_1,\dots,u_n$, et vastavatel ringidel on ühine punkt.
\end{yl}



\begin{naide}
On antud kaks numbrit (näiteks 1, 2). Mitu sellist kolmekohalist arvu võib nendest
numbritest moodustada, et suvalised kaks arvu erineksid vähemalt kahel numbrikohal?
\end{naide}

\begin{yl}
Veenduge, et võib leida 8 neljakohalist (16 viiekohalist) arvu, mis koosnevad
kahest numbrist selliselt, et suvalised kaks arvu erinevad vähemalt kahel numbrikohal,
aga et rohkem kui 8 sellist neljakohalist (16 viiekohalist) arvu ei leidu.
\end{yl}

\begin{yl}
Veenduge, et pole võimalik leida rohkem kui $2^{n-1}$ $n$-numbrilist arvu, mis koosnevad kahest
numbrist nii, et suvalised kaks arvu erineksid vähemalt kahel numbrikohal. Püüdke
anda juhis selliste $2^{n-1}$ $n$-numbrilise arvu konstrueerimiseks (induktsiooniga $n$ järgi).
\end{yl}

\begin{naide}\label{22}
Tarvis tõestada, et pole võimalik leida rohkem kui 4 viiekohalist arvu (ikka
kasutades kaht numbrit 1 ja 2), milles suvalised kaks arvu erineksid vähemalt kolmel
numbrikohal. Sealjuures neli sellist arvu võib leida, näiteks 11111, 22211, 11222, 22122.
\end{naide}

\begin{yl}
Tõestage, et pole võimalik leida rohkem kui 8 kuuekohalist arvu numbritest 1 ja 2 selliselt,
et suvalised kaks erineksid vähemalt kolmel numbrikohal. Konstrueerige 8 sellist arvu.
\end{yl}

\begin{yl}\label{45}
Tõestage, et pole võimalik leida rohkem kui 16 seitsmekohalist arvu numbritest 1 ja 2 selliselt,
et suvalised kaks erineksid vähemalt kolmel numbrikohal.
\end{yl}

\begin{naide}
Tarvis näidata, et pole võimalik leida rohkem kui 28 kaheksakohalist arvu numbritest
1 ja 2 selliselt, et suvalised kaks erineksid vähemalt kolmel numbrikohal.
\end{naide}

\begin{yl}
Tuginedes näitele \ref{22} lahendage uuesti ülesanne \ref{45}.
\end{yl}

\begin{yl}
Tõestage, et pole võimalik leida rohkem kui $\left\lfloor\frac{2^n}{n+1}\right\rfloor$
$n$-kohalist arvu, mis koosnevad kahest numbrist nii, et suvalised kaks arvu erineksid
vähemalt kolmel numbrikohal.
\end{yl}

\begin{naide}
Tõestage, et pole võimalik leida rohkem kui 4 kuuekohalist arvu, mis koosnevad kahest numbrist nii, et suvalised kaks arvu erineksid vähemalt neljal numbrikohal.
\end{naide}

\begin{yl}
Tõestage, et pole võimalik leida rohkem kui 8 seitsmekohalist arvu, mis koosnevad kahest numbrist nii, et suvalised kaks arvu erineksid vähemalt neljal numbrikohal. Leidke 8 sellist arvu.
\end{yl}

\begin{yl}
Tõestage, et pole võimalik leida rohkem kui 16 kaheksakohalist arvu, mis koosnevad kahest numbrist nii, et suvalised kaks arvu erineksid vähemalt neljal numbrikohal. Leidke 16 sellist arvu.
\end{yl}

\begin{yl}
Tõestage, et pole võimalik leida rohkem kui $2^{n-4}$ $n$-kohalist arvu, mis koosnevad kahest numbrist nii, et suvalised kaks arvu erineksid vähemalt neljal numbrikohal.
\end{yl}


\begin{naide}
Nelja numbri abil (näiteks 1, 2, 3, 4) pole võimalik konstrueerida rohkem kui 16 sellist kolmekohalist
arvu, millest suvalised kaks erineksid vähemalt kahel numbrikohal. Tarvis on tõestada see väide ning veenduda, et 16 sellist arvu on võimalik konstrueerida.
\end{naide}

\begin{yl}
Tõestage, et $k$ numbri abil on võimatu konstrueerida rohkem kui $k^2$ kolmekohalist arvu nii, et suvalised kaks neist erineksid vähemalt kahel numbrikohal.
\end{yl}

\begin{yl}
Tõestage, et $k$ numbri abil on võimatu konstrueerida rohkem kui $k^3$ neljakohalist arvu nii, et suvalised kaks neist erineksid vähemalt kahel numbrikohal.
\end{yl}

\begin{yl}
Tõestage, et $k$ numbri abil on võimatu konstrueerida rohkem kui $k^{n-1}$ $n$-kohalist arvu nii, et suvalised kaks neist erineksid vähemalt kahel numbrikohal.
\end{yl}


\begin{naide}
Tarvis tõestada, et $k$ numbri abil on võimatu konstrueerida rohkem kui $\frac{k^5}{5k-4}$ viiekohalist arvu nii, et suvalised kaks neist erineksid vähemalt kolmel numbrikohal.
\end{naide}

\begin{yl}
Tõestage, et $k$ numbri abil on võimatu konstrueerida rohkem kui $\left\lfloor\frac{k^n}{nk+1-n}\right\rfloor$ $n$-kohalist arvu nii, et suvalised kaks neist erineksid vähemalt kolmel numbrikohal.
\end{yl}

\begin{yl}
Tõestage, et $k$ numbri abil on võimatu konstrueerida rohkem kui 
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\item $\frac{k^n}{1+n(k-1)+\binom{n}{2}(k-1)^2}$
\item $\frac{k^n}{1+n(k-1)+\binom{n}{2}(k-1)^2+\binom{n}{3}(k-1)^3}$
\end{enumerate}
$n$-kohalist arvu nii, et suvalised kaks neist erineksid vähemalt 
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\item viiel
\item seitsmel
\end{enumerate}
numbrikohal.
\end{yl}


\begin{naide}
On antud 6 sirget ruumis, millest ükski kaks pole paralleelsed ja ükski kolm ei lõiku ühes punktis.
Leidke nende seast kolm selliselt, mis asuksid ühel tasandil, või kolm, mis on paarikaupa kiivsirged.
\end{naide}


\begin{yl}
Tõestage, et maleturniiril, millest võttis osa 6 mängijat, võib leida mängijate kolmiku,
kes kõik mängisid üksteisega, või kolmiku, milles ükski mängija teisega ei mänginud.
\end{yl}

\begin{yl}
Olgu tasandil 6 punkti, millest ükski kolm ei asu ühel sirgel,
ühendatud siniste või punaste lõikudega (st. mõned kaks on ühendatud siniste,
mõned kaks punaste lõikudega, kusjuures suvalised kaks punkti on ühendatud).
Tõestage, et leidub vähemalt üks ühevärviline kolmnurk, mille tipud on mingid punktid
nende 6 seast.
\end{yl}

\begin{naide}
17 teadlast on omavahel kirjavahetuses (kõik kõigiga), kusjuures kogu korrespondents
toimub kolmel teemal. Tõestage, et leidub teadlaste kolmik, kes kõik omavahel kirjutavad samal teemal.
\end{naide}

\begin{yl}
Ruumis on antud 17 sirget. Tõestage, et nende seas võib leida kolm, mis kas on kõik üksteisega
paralleelsed, kõik lõikuvad üksteisega või kõik on üksteisega kiivsirged.
\end{yl}

\begin{yl}
Koolis, kus on 17 klassi, mängiti klassidevaheline jalgpalliturniir põhimõttel "`kõik kõigiga''.
Turniir kestis kolm päeva. Tõestage, et leidus kolm klassi, kes mängisid kõik kohtumised omavahel samal päeval.
\end{yl}

\begin{yl}
Tasandil on antud 17 punkti, mis on ühendatud omavahel mustade, punaste või siniste lõikudega selliselt, et ükski kolm punkti ei asu ühel sirgel ning iga kaks on ühendatud.
Tõestage, et leidub ühevärviline kolmnurk, mille tipud on antud 17 punkti hulgas.
\end{yl}

\begin{yl}
Tõestage, et igas kahevärvilises (värvitakse servi) 6-tipulises graafis leidub vähemalt üks ühevärviline kolmest servast koosnev alamgraaf (lühidalt: ühevärviline kolmnurk).
Tõestage, et igas kolmevärvilises 17-tipulises graafis leidub ühevärviline kolmnurk.
\end{yl}

\begin{naide}
Tõestage, et igas neljavärvilises 66-tipulises graafis leidub ühevärviline kolmnurk.
\end{naide}

\begin{yl}
Tõestage, et igas viievärvilises 327-tipulises graafis leidub ühevärviline kolmnurk.
\end{yl}

\begin{yl}
Tõestage, et kui igas $k$-värvilises $m$-tipulises leidub ühevärviline kolmnurk, siis
igas $(k+1)$-värvilises $(km+m-k+1)$-tipulises graafis leidub ühevärviline kolmnurk.
\end{yl}

\begin{naide}
Olgu kahevärvilises graafis sellised 5 tippu $A, B, C, D, E$, et $A, B, C$ moodustavad
ühevärvilise kolmnurga ja tippude $D$ ning $E$ vaheline serv on ka sama värvi nagu see kolmnurk. Tõestage, et selles graafis leidub lisaks kolmnurgale $A, B, C$ veel üks ühevärviline kolmnurk.
\end{naide}

\begin{naide}
Tõestage, et kahevärvilises 6-tipulises graafis leidub vähemalt kaks ühevärvilist kolmnurka.
\end{naide}

\begin{yl}
Kontrueerige kahevärviline kolmnurk, milles ei leiduks kolme ühevärvilist kolmnurka.
\end{yl}

\begin{naide}
Igas kahevärvilises 7-tipulises graafis leidub vähemalt 4 ühevärvilist kolmnurka.
\end{naide}

\begin{yl}
Tõestage, et kahevärvilises 
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\item 
8-tipulises, 
\item
9-tipulises, 
\item
10-tipulises, 
\item
11-tipulises
\end{enumerate}
graafis leidub vähemalt 
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\item 
7, 
\item 
11, 
\item 
16, 
\item 
22
\end{enumerate}
ühevärvilist kolmnurka.
\end{yl}

\begin{naide}
Tarvis näidata, et kahevärvilises $n$-tipulises graafis leidub vähemalt $\frac12 n^2-\frac{19}2 n + 61$ ühevärvilist kolmnurka.
\end{naide}

\begin{naide}
Tarvis näidata, et kahevärvilises 24-tipulises graafis leidub vähemalt üks ühevärviline 4-tipuline täisgraaf.
\end{naide}

\begin{yl}
Tõestage, et kahevärvilises 24-tipulises graafis leidub vähemalt kaks ühevärvilist 4-tipulist täisgraaf.
\end{yl}

\begin{yl}
Tõestage, et kahevärvilises 192-tipulises graafis leidub vähemalt üks ühevärviline 5-tipuline täisgraaf.
\end{yl}
\end{document}

