Loengud
Loengute orienteeruv ajakava:
1. Ruumala mõiste üldistamise mittevõimalikkus kõigile ruumi Rm alamhulkadele. Banach-Tarski paradoks.
2. Hulkade algebrad ja sigma-algebrad. Boreli sigma-algebra.
3. Hulgafunktsioonid, mõõt. Mõõduga ruumi täielikkus, mõiste "peaaegu kõikjal". Mõõduga ruumi täield.
4.-5. Välismõõt. Hulkade algebral defineeritud mõõdu poolt genereeritud välismõõt. Välismõõdu poolt genereeritud mõõduga ruum. (Caratheodory theoreem). Hahni teoreem mõõdu jätkamisest algebralt selle algebra poolt genereeritud sigma-algebrale.
6. Boreli mõõdud ruumis R, Lebesgue´i mõõt ruumis R. Lebesgue´i mõttes mittemõõtuva hulga olemasolu. Cantori hulk.
7.-8. Mõõtuvad funktsioonid.
9. Integraal mittenegatiivsest funktsioonist. Integraal kui mõõt. Lebesgue´i monotoonse koonduvuse teoreem (B. Levi teoreem). Fatou lemma.
10. Integraal laiendatud reaalsete väärtustega funktsioonist, tema lineaarsus. Ruum L1. Lebesgue´i domineeritud koonduvuse teoreem.
11. Lebesgue´i ja Riemanni mõttes integreeruvuse vahekord.
12. Mõõtuvate funktsioonide koonduvustüüpe: koonduvus peaaegu kõikjal, mõõdu järgi koonduvus, p-keskmine koonduvus. Mõõtuvate funktsioonide koonduvustüüpide vahekorrad. Jegorovi teoreem. Luzini teoreem.
13. Korrutis-sigma-algebrad. Ruumi Rm Boreli sigma-algebra kui ruumi R Boreli sigma-algebrate korrutis.
14. Korrutismõõdud. Integreerimisjärjekorra muutmine (Fubini-Tonelli teoreemid). Korrutismõõdu täield.
15. Lebesgue´i mõõt ruumis Rm. Lebesgue´i integraal ruumis Rm.
16. Teisi vaatenurki Lebesgue´i integraalile. Ruum Lp.