Veel mõnda funktsionaalridadest
Maxima kood on siin: read.maxima.txt
- Astmerea koonduvuspiirkonna ja Taylori valemi jääkliikme hinnangu teadmine on väga tähtis. Arendage {$f(x)=\ln (1+x)$} Maclaurini ritta ning koostage joonis, kus on näha osasummade (Taylori polünoomide) graafikuid väljaspool rea koonduvuspiirkonda {$(-1,1]$}. On näha, et kui {$x>1$}, siis suurte {$n$} väärtuste korral läheneb liige {$\displaystyle \frac{x^n}{n}$} lõpmatusele eriti kiiresti.
Oodatav pilt: logtaylor.pdf - Kuvage ühes teljestikus {$f(x)=\sin x$} Taylori polünoomid (Taylori rea osasummad) kuni {$n=15$}. Kui kasutada liiga suure {$x$} jaoks liiga väikest järku osasummat, saab teha väga suure vea!
Oodatav pilt: sintaylor.pdf - Polünoomid on mittesiledate funktsioonide vahetuks lähendamiseks üldse väga kehvad. Vt. näiteks Lagrange'i polünoom {$\displaystyle P(x)=\sum_{k=0}^n f(x_k)\cdot \prod_{j\ne k}\frac{x-x_j}{x_k-x_j}$} juhul, kui lähendame absoluutväärtust {$f(x)=|x|$} lõigus {$[-1,1]$} ühtlasel võrgul. Tekib Runge efekt: mida suurem {$n$}, seda hullemini {$P$} ostsilleerub. (Lahendused (Numbrilised meetodid): valida paremini võrgusõlmed, kasutada splaine, ...)
Oodatavad pildid: abslagrange1.pdf, abslagrange2.pdf - Fourier' read. Olgu antud tükiti pidev {$2\pi$}-perioodiline funktsioon {$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$}.
Funktsiooni {$f$} Fourier' reaks nimetatakse rida {$\displaystyle \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx + b_n\sin nx)$}, kus {$\displaystyle a_k=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos kx\,\mathrm{d}x$}, {$k\geqslant 0$}, ja {$\displaystyle b_k = \frac1{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin kx\,\mathrm{d}x$}, {$k\geqslant 1$}.
Koostage joonis, kus on funktsiooni {$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -1, & \text{kui }x\in[-\pi,0], \\ 0, & \text{kui }x\in[0,\pi)\end{array}\right.$} Fourier' rea osasummade graafikud ühes teljestikus.
Oodatav pilt: fourier-osasummad.pdf - Dirichlet' teoreem (Matemaatiline analüüs IV) ütleb, et kui tükiti pideval {$2\pi$}-perioodilisel funktsioonil {$f$} on punktis {$a$} lõplikud ühepoolsed tuletised {$\displaystyle f'_-(a):=\lim_{x\to a-}\frac{f(x)-f_-(a)}{x-a}$} ja {$\displaystyle f'_+(a):=\lim_{x\to a+}\frac{f(x)-f_+(a)}{x-a}$}, siis funktsiooni {$f$} Fourier' rea summa punktis {$a$} on {$\displaystyle\frac{f_-(a)+f_+(a)}{2}$}.
Seega, kui {$f$} on diferentseeruv kohal {$a$}, on tema Fourier' rea summa kohal {$a$} võrdne arvuga {$f(a)$}. - Hüppepunktides esineb paraku Gibbsi efekt, nimelt Fourier' rea kuitahes kõrget järku osasummad võnguvad vahetult enne hüppepunkti "valele poole" ja nimelt {$\approx 8{,}95\%$} hüppe suurusest.
- Gibbsi efektist saab vabaneda nii, et asendada Fourier' rea osasummad {$s_n(x)$} hoopis nende aritmeetiliste keskmistega: {$\displaystyle \sigma_n(x)=\frac{s_0(x)+\ldots+s_n(x)}{n+1}$}. (Veenduge graafikute abil!) On ka teisi silumisvõimalusi.
Oodatavad pildid: fourier-aritm-keskmised-ilma-gibbsi-efektita1.pdf, fourier-aritm-keskmised-ilma-gibbsi-efektita2.pdf, fourier-aritm-keskmised-ilma-gibbsi-efektita3.pdf - Veel enam, Fejéri teoreem (Matemaatiline analüüs IV) ütleb, et kui {$f$} on pidev {$2\pi$}-perioodiline funktsioon, siis {$\displaystyle \sigma_n\mathop{\to}_n f$} ühtlaselt hulgas {$\mathbb{R}$}.