Matemaatika ja statistika instituut
Logi sisse
  • English
  • Kursused
  • 2021/22 sügis
  • Algebra I (MTMM.00.038)

Algebra I 2021/22 sügis

  • Pealeht
  • Hinde kujunemine
  • Praktikumid
  • Õppematerjalid
  • Eksamid

Arvutamine ja graafikud

Maxima abiinfot käsu kohta saab ?? käsk, näiteks ?? fullratsimp.

Lihtsustamine

Ratsionaalavaldised, tegurdamine

Kirjutis % tähendab eelmise arvutuse tulemust.

(%i1) fullratsimp((a**3+2*a**2-a-2)/(a+2));
                                     2
(%o1)                               a  - 1
(%i2) factor(%);
(%o2)                           (a - 1) (a + 1)

Trigonomeetrilised avaldised

(%i3) fullratsimp(sin(x)**2 + cos(x)**2);
                                  2         2
(%o3)                          sin (x) + cos (x)
(%i4) trigsimp(%o3);
(%o4)                                  1

Abiks on ka trigexpand, trigreduce, trigrat.

Täpsem käitumine juurtega

(%i5) fullratsimp((%e^x-1)/(1+%e^(x/2)));
                                      x
                                    %e  - 1
(%o5)                              ---------
                                     x/2
                                   %e    + 1
(%i6) radcan((%e^x-1)/(1+%e^(x/2)));
                                     x/2
(%o6)                              %e    - 1

Tehted maatriksitega

Defineerimine, korrutamine arvuga, korrutamine, liitmine

(%i1) A : matrix([2,-3], [5,4], [-1,6]);
                                 [  2   - 3 ]
                                 [          ]
(%o1)                            [  5    4  ]
                                 [          ]
                                 [ - 1   6  ]
(%i2) B : 5 * matrix([3,-2], [1,0]);
                                  [ 15  - 10 ]
(%o2)                             [          ]
                                  [ 5    0   ]
(%i3) A . B;
                                 [ 15   - 20 ]
                                 [           ]
(%o3)                            [ 95   - 50 ]
                                 [           ]
                                 [ 15    10  ]
(%i4) A + B;
`fullmap' found arguments with incompatible structure.
 -- an error.  To debug this try debugmode(true);

Determinandi leidmine

(%i5) D : matrix([0,0,5,0], [0,3,0,6], [0,7,0,2], [4,0,0,0]);
                                [ 0  0  5  0 ]
                                [            ]
                                [ 0  3  0  6 ]
(%o5)                           [            ]
                                [ 0  7  0  2 ]
                                [            ]
                                [ 4  0  0  0 ]
(%i6) determinant(D);
(%o6)                                - 720

Pöördmaatriks, transponeeritud maatriks, ühik- ja nullmaatriks

(%i7) A : matrix([2,3,4], [1,1,2], [3,5,7]);
                                  [ 2  3  4 ]
                                  [         ]
(%o7)                             [ 1  1  2 ]
                                  [         ]
                                  [ 3  5  7 ]
(%i8) invert(A);
                               [  3    1   - 2 ]
                               [               ]
(%o8)                          [  1   - 2   0  ]
                               [               ]
                               [ - 2   1    1  ]
(%i9) transpose(A);
                                  [ 2  1  3 ]
                                  [         ]
(%o9)                             [ 3  1  5 ]
                                  [         ]
                                  [ 4  2  7 ]
(%i15) ident(2);
                                   [ 1  0 ]
(%o15)                             [      ]
                                   [ 0  1 ]
(%i16) zeromatrix(2,3);
                                  [ 0  0  0 ]
(%o16)                            [         ]
                                  [ 0  0  0 ]

Alammaatriksid

(%i17) submatrix(1,2, D, 2,4);
                                   [ 0  0 ]
(%o17)                             [      ]
                                   [ 4  0 ]
(%i18) row(D,3);
(%o18)                          [ 0  7  0  2 ]
(%i19) col(D,2);
                                     [ 0 ]
                                     [   ]
                                     [ 3 ]
(%o19)                               [   ]
                                     [ 7 ]
                                     [   ]
                                     [ 0 ]
(%i20) D[1,3];
(%o20)                                 5

Kompleksarvud

Algebraline kuju ja trigonomeetriline kuju

(%i1) z : 1+2*%i;
(%o1)                              2 %i + 1
(%i2) polarform(z);
                                       %i atan(2)
(%o2)                        sqrt(5) %e
(%i3) rectform((1+%i)/(1-%i));
(%o3)                                 %i

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine

(%i1) solve([2*x1 - 3*x2 + 5*x3 + 7*x4 = 1, 4*x1 - 6*x2 + 2*x3 + 
3*x4 = 2, 2*x1 - 3*x2 - 11*x3 - 15*x4 = 1], [x1, x2, x3, x4]);
Dependent equations eliminated:  (3)
               - 24 %r2 + %r1 - 8                   11 %r1
(%o1) [[x1 = - ------------------, x2 = %r2, x3 = - ------, x4 = %r1]]
                       16                             8

Vabadeks muutujateks on x2 ja x4. Nende väärtused on suvalised konstandid, mis on tähistatud kui %r2 ja %r1.

Polünoomid, ratsionaalmurrud

Jäägiga jagamine

(%i1) divide(x**3+x**2-4*x+3, x**2-1);
(%o1)                          [x + 1, 4 - 3 x]

Tagastatakse kahe-elemendiline vektor, esimene element on jagatis ja teine on jääk.

Tegurdamine, arendamine

(%i2) factor(x**4+2*x**3-7*x**2+2*x-8);
                                            2
(%o2)                     (x - 2) (x + 4) (x  + 1)
(%i3) expand((x**2+1)*(x-2)*(x+4));
                          4      3      2
(%o3)                    x  + 2 x  - 7 x  + 2 x - 8

Suurim ühistegur, vähim ühiskordne

(%i4) gcd(x**4+2*x**3-7*x**2+2*x-8, x**4+2*x**3-2*x**2+2*x-3);
                                    2
(%o4)                              x  + 1
(%i5) load("functs");
(%o5) 
     C:/PROGRA~2/MAXIMA~1.1/share/maxima/5.34.1/share/simplification/functs.mac
(%i6) lcm(x**4+2*x**3-7*x**2+2*x-8, x**4+2*x**3-2*x**2+2*x-3);
                                                    2
(%o6)             (x - 2) (x - 1) (x + 3) (x + 4) (x  + 1)

Esitus polünoomi ja algmurdude summana

(%i7) partfrac((x**6+1) / (x**4+2*x**3-7*x**2+2*x-8),x);
                        241       2            13
(%o7)              - --------- + x  - 2 x + --------- + 11
                     6 (x + 4)              6 (x - 2)

Arendis {$x - 2$} astmete kaudu (Taylori valem)

(%i8) taylor(x**4+2*x**3-7*x**2+2*x-8, x, 2, 4);
                                 2             3          4
(%o8)/T/  30 (x - 2) + 29 (x - 2)  + 10 (x - 2)  + (x - 2)  + . . .

Skalaarkorrutamine

(%i1) [1,3] . [-2,4];
(%o1)                                 10

Graafikute joonistamine

Funktsioon {$f ( x ) = x^2$}

(%i1) load("draw");
(%o1)   C:/PROGRA~2/MAXIMA~1.1/share/maxima/5.34.1/share/draw/draw.lisp
(%i2) draw2d(explicit(x**2, x, -3, 3));
(%o2)                          [gr2d(explicit)]

Tulemus PDF-failiks

(%i3) draw2d(explicit(x**2, x, -3, 3), terminal=pdf, file_name="H:\\gr");
(%o3)                          [gr2d(explicit)]

Tulemusena tekib fail H:\gr.pdf.

Kaks graafikut ja üksikud punktid

(%i4) draw2d(
explicit(x**2, x, -3, 3), 
color=red, explicit(sin(x), x, -%pi, %pi), 
color=brown, point_size=3, point_type=7, points([[0, 2], [1, -0.5]])
);
(%o4)                [gr2d(explicit, explicit, points)]

Sama, nagu eelmine, aga legend ja tekstid graafikul, graafiku suurus käsitsi reguleeritud

(%i5) draw2d(
key="x^2",explicit(x**2, x, -3, 3), 
color=red, key="sin x", explicit(sin(x), x, -%pi, %pi), 
color=brown, point_size=3, point_type=7, key="", points([[0, 2], [1, -0.5]]), 
color=black, label(["P(0,2)", 0.5, 2.5]), 
xrange=[-5, 5], yrange=[-1, 10], xlabel="x", ylabel="y", title="Graafikud");
(%o5)                 [gr2d(explicit, explicit, points)]

Uute funktsioonide defineerimine

(%i1) f(x) := if x < 2 then x+3 else x-1;
(%o1)              f(x) := if x < 2 then x + 3 else x - 1

Tulemusena defineeritakse funktsioon {$f ( x ) = \left\{\begin{array}{ll} x + 3, & \text{kui }x < 2,\\ x - 1,& \text{muul juhul.}\end{array}\right.$}

Tehke ise!

  1. Lihtsustage: {$\displaystyle\left(\frac{a^2}{a^2 - b^2} - \frac{a^2 b}{a^2 + b^2}\cdot \left( \frac{a}{a b + b^2} + \frac{b}{a^2 + a b}\right) \right) : \frac{b}{a - b}$}.
  2. Lihtsustage: {$\displaystyle\frac{\sin\alpha - 2 \sin 2\alpha + \sin 3\alpha}{ \cos \alpha - 2 \cos 2 \alpha + \cos 3\alpha}$} .
  3. Leidke maatriksite korrutis: {$\displaystyle\left(\begin{array}{rrrr} 1 &2 &1 &3\\ 0 &2& 1 &-2\\ 2 &1 &4 &1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ 0\\ 1 \end{array}\right)$}.
  4. Arvutage determinant: {$\displaystyle\left|\begin{array}{rrrr} \sqrt{2}& \sqrt3 &\sqrt5 &\sqrt3\\ \sqrt6& \sqrt{21} &\sqrt{10} &-2\sqrt3 \\ \sqrt{10} & 2 \sqrt{15} & 5 &\sqrt6\\ 2 & 2\sqrt6 & \sqrt{10} & \sqrt{15}\end{array}\right|$}.
  5. Esitage algebralisel ja trigonomeetrilisel kujul: {$\displaystyle\left(\frac{1 - \mathrm{i}}{ 1 + \sqrt3 \mathrm{i}} \right)^{20}$} .
  6. Lahendage võrrand: {$x^4 + x^3 + 3 x^2 + 2 x + 2 = 0$}.
  7. Lahendage võrrandisüsteem: {$\displaystyle\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\frac{x y}{x + y} = \frac{10}{7},\\ \displaystyle\frac{y z}{y + z} = \frac{40}{13},\\ \displaystyle\frac{z x}{z + x} = \frac{5}{8}.\end{array}\right.$}
  8. Joonistage funktsiooni graafik: {$f ( x ) = \left\{\begin{array}{ll} 1 + x^2, & \text{kui } x < 0 , \\ 1 - x, & \text{muul juhul}.\end{array}\right.$}

Tarkvara

  1. Maxima http://maxima.sourceforge.net.
  2. Adobe Reader https://get.adobe.com/reader või Foxit Reader https://www.foxitsoftware.com/products/pdf-reader või mõni muu PDF vaataja.
  • Matemaatika ja statistika instituut
  • Loodus- ja täppisteaduste valdkond
  • Tartu Ülikool
Tehniliste probleemide või küsimuste korral kirjuta: