Uurimine [punkte: ?, tähtaeg: 31.05.2019]
Endale huvipäraste kategooriate korral uurida järgmiseid küsimusi. Vastused anda koos põhjenduste / tõestustega.
- [punkte: 0.5] Kuidas näevad välja monomorfismid, epimorfismid?
- [punkte: 1] Millised piirid/kopiirid kategoorias leiduvad, kuidas neid arvutatakse?
- [punkte: 1] Millsed kaasfunktorid on huvipäraste kategooriate vahel?
Võib ka ise uurimiseks probleeme välja pakkuda.
Iga kategooria puhul ei pruugi küsimus mõistliku vaevaga vastatav olla. Näiteks väikeste kategooriate kategoorias {$ \mathrm{Cat} $} pole epimorfismide klassifitseerimine üldsegi lihtne.
Uurida võib mingit küsimust ka mitmel erineval juhul, aga iga järgnev juht annab kaks korda vähem punkte. See tähendab, et saadavad punktid kahanevad eksponentaalselt: 1, 0.5, 0.25, ...
Uurimisest täpsemalt saab lugeda siit.
Koduülesanne 20. [punkte: 1, tähtaeg: 30.05.2019]
Olgu {$ F \colon \mathcal{C} \to \mathcal{D} $} ning {$ G \colon \mathcal{D} \to \mathcal{C} $} funktorid nii, et {$ F \dashv G $} ning adjunktsiooni ühikuks ning koühikuks on vastavalt loomulikud teisendused {$ \eta \colon 1_\mathcal{C} \to GF $} ja {$ \varepsilon \colon FG \to 1_\mathcal{D} $}.
Tähistagu {$ \mathcal{C}_\eta $} kategooria {$ \mathcal{C} $} alamkategooriat, mis on määratud kõigi selliste objektide {$ C \in \mathcal{C} $} poolt, mille korral {$ \eta_C $} on isomorfism ning olgu {$ \mathcal{D}_\varepsilon $} analoogiline kategooria {$ \mathcal{D} $} alamkategooria.
Tõestada, et adjunktsiooni funktorid {$ F $} ning {$ G $} saab ahendada kategooriate {$ \mathcal{C}_\eta $} ning {$ \mathcal{D}_\varepsilon $} vahelisteks funktoriteks, mis annavad nende kategooriate vahel ekvivalentsi.
Koduülesanne 19. [punkte: 1, tähtaeg: 30.05.2019]
Olgu {$ \mathsf{Cat} $} väikeste kategooriate kategooria. Tõestada, et unustaval funktoril {$$ U \colon \mathsf{Cat} \to \mathsf{Set}\,, \; \;\;\; U(\mathcal{C}) = \mathcal{C}_0 $$} on vasakpoolne ning parempoolne kaasfunktor.
Koduülesanne 18. [punkte: 1, tähtaeg: 23.05.2019]
Olgu {$ \mathcal{C} $} kokorrutistega kategooria ning olgu {$ C $} selle objekt. Fikseerime iga hulga {$ X $} korral mingi objekti {$ C $} {$ X $}-kordse kokorrutise {$ (X \cdot C \,, (i^X_x)_{x \in X}) $} iseendaga. Siin {$ i^X_x \colon C \to X \cdot C $}.
Näidata, et see defineerib funktori {$$ - \cdot C \colon \mathsf{Set} \to \mathcal{C}\,, $$} mis seab funktsioonile {$ f \colon X \to Y $} vastavuse unikaalse morfismi {$ f \cdot C \colon X \cdot C \to Y \cdot C $}, mille puhul {$ (f \cdot C)i^X_x = i^Y_{f(x)} $} iga {$ x \in X $} korral.
Tõestada, et funktori {$ - \cdot C $} parempoolseks kaasfunktoriks on kovariantne hom-funktor {$$ \mathcal{C}(C,-) \colon \mathcal{C} \to \mathsf{Set} \,. $$}
Koduülesanne 17. [punkte: 0.75, tähtaeg: 23.05.2019]
Olgu {$ \mathcal{D} $} väike kategooria ning olgu {$ F,F' \colon \mathcal{D} \to \mathcal{C} $} funktorid. Tõestada, et kui {$ (P,(p_i)_{i \in I}) $} on funktori {$ F $} piir, {$ \alpha \colon F \to F' $} on loomulik isomorfism ning {$ u \colon P' \to P $} on isomorfism, siis {$ (P', (\alpha_i p_iu)_{i \in I} )$} on funktori {$ F' $} piir.